Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
207
просуммированными, но частичные суммы перегруппированного знакопеременного гармонического ряда будут стремиться к 1,5.
Таким образом, члены условно сходящегося ряда можно перегруппировать так, чтобы ряд сходился к любому требуемому пределу (или даже расходился). Это утверждение называют теоремой Римана. Очевидно, операции с условно сходящимися рядами требуют осторожности.
В двойных рядах мы встречаемся с другими свойствами, которые являются следствием перестановки членов
OO OO
2 2 CLnt т. Введем новые индексы: n=q > O1 т=р — q > О,
т~Оп=0
<7<р. Это приводит к тождеству
OO OO оо р
2 S С1п,тп ~ 2 S Ciqt p-q•
т—Оп=О р=О д=0
(5.62а)
Подстановка л -s>0, m--r — 2s > О (s<r/2) приводит к
со [г/2]
(5.626)
СО OO
Яд, m — 2j Zj Clst r-2s» m=0 п= О г=0 8=0
где [г/21 равно г/2 для четных г и (г - 1)/2 для нечетных. Эти ряды получены перестановкой членов исходного ряда ат>п, а сама перестановка возможна только при абсолютной сходимости.
Иллюстрировать суммирование двойного ряда можно следующим образом:
1OO
а,
а.
ю
01
41
а.
02
аоз ^
а.
12
чз
а
70
а,
[21
22
а
23
а30 Ct31 азг
і/І і
а
зз • 208
'ГЛАВА б. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Здесь вертикальные линии означают суммирование по п\ первый индекс у коэффициентов относится к ряду по її, второй — к ряду по т.
Комбинация рядов (5.62а) и (5.62в) использована в разд. 12.1 при определении полиномов Лежандра.
Упражнение
X^ X^ X^
Дан ряд In (1 + л;) ~ х--—-J—^---г"*" Показать, что
.... Xі . /1+*\
In(I-X) = -X 2 з 4"---> ln(t^j =
=2(*+т+4+-)-
Последним рядом пользуются для получения второго решения дифференциального уравнения Лежандра (см. разд. 12.9).
5.5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Обобщим понятие бесконечного ряда и будем полагать, что каждый его член ип может быть представлен функцией некоторой переменной ип = ип (х). В этом случае ряд
2 Un (х) называют функциональным, а его частичные суммы в этом случае являются функциями переменной X
Sn (X) = Щ (х) + и2 M + • • • + U11 (я) (5.63)
так же, как и сумма всего ряда, которая определяется следующим образом:
сю
S Un W = S (х) = Iim Sn (х). (5.64)
П—1 П-УСЮ
Для функциональных рядов надо исследовать их поведение в зависимости от х. Главный вопрос при этом связан с равномерной сходимостью ряда.
Равномерная сходимость. Если для любого сколь угодно малого є > О существует N1 не зависящее от х на отрезке [а, Ь], такое, что условие
|S(jc)-s»(*)|<e (5.65)
выполняется для всех Nt то ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [а, Ь.] Если такого N указать 5.5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
209
нельзя, то ряд 2 ип (х) не сходится равномерно на отрезке [а, Ь].
Условие (5.65), с помощью которого определена равномерная сходимость, проиллюстрировано па рис. 5.3.
Рис. 5.3. Равномерная сходимость.
Пример 1. Рассмотрим ряд
OO OO
2«»W = S к«-!)*+ци+ц • фМ)
Tl— 1 Tl=I
Установим методом математической индукции, что его частичные суммы равны Srt(X) = ZiJc(WJc-I-I)-I. Действительно, Sn = Jix(AJC-I-I)""1 при /1=1, 2. Предположим, что оно справедливо для п-го члена. Покажем теперь, что для (гг-f- 1)-го члена оно также справедливо:
Sn+1 {Х) = Sn {Х) + [zix +1] [(*+1)х+1] =
_ пх _X_ (Д+1)х .fi
[nx + l]+[zix-f l][(zi+l)*+l] (n+l)*+l ' ( 0
Итак, Srt(X) = ZiX(ZiX-I-I)"1. Устремим п к бесконечности, тогда
S (0)= Iim Sn (0) = 0, S(x ФО)= Iim Sn (* 0) = 1. (5.68)
П-юо W-KQ
14-1257 210
'ГЛАВА б. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
В точке X = 0 функция 5 (х) имеет разрыв. Однако Sn (х) на отрезке 0<х< 1 есть непрерывная функция х при любых конечных п. При достаточно малом є условие (5.65) нарушается для всех конечных п. Следовательно, наш ряд не является равномерно сходящимся.
Признак сходимости Вейерштрасса. Это наиболее общий признак равномерной сходимости, который формулируется следующим образом: если члены функционального ряда при любых X из отрезка [a, b] удовлетворяют неравенству Mt > I щ (х) |, где Mi — члены некоторого сходящегося ряда
OO 00
2 Mi, то ряд 2 uI W сходится на [а, b] равномерно. і—1 і—і
Доказательство признака Вейерштрасса несложно. В силу
сходимости ряда ^Mi обязательно найдется такое Ni что
і
при п -f 1 > N
OO
2 Mi < є. (5.69)
»».!-і
Последнее следует из определения сходимости. Поскольку из условия теоремы I щ (*) I < Mu для всех X из [а, Ь], имеем
OO
2 I щ (X) I < Є, (5.70)
і=л-|-і
откуда
OO
IS(*)-sn(*)И 2 М*)|<8, (5-71)
i=n+i
OO
следовательно, по определению, ряд 2 ut W равномерно
І= і
сходится на [а, Ь]. При доказательстве признака Вейерштрасса мы пользовались абсолютными значениями, поэтому
OO
ряд 2 ui W сходится еще и абсолютно.
1-і
Читатель должен четко представлять, что равномерная сходимость и абсолютная сходимость — независимые свойства; из существования одного не следует существование другого. В двух специальных случаях
OO
-OOCJtCOO (5.72) 5.6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ !'ЯДЫ
