Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
і І
s* = ^an= 2 /(л), (5.22)
Tl= \ Tt=I 5.2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
195
но
і-и
Si > j f(x)dx,
(5.23)
если f(x) монотонно убывает (рис. 5.1, а). С другой сто-
т -
Рис. 5.1. Приближение интеграла прямоугольниками, площадь которых больше (а) и меньше (б) площади, ограниченной кривой f(x) и осью X.
роиы (рис. 5.1,6),
і
S^4-A1 < j f(x) dx. 1
(5.24)
13* 196
' г л А В А 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Переходя к пределу i—>00, получим
00 со оо
\ f (х) dx< 2 dn< J f(x)dx-[-at. (5.25)
1 її— і і
Отсюда следует, что данный бесконечный ряд сходится или расходится в зависимости от сходимости или расходимости соответствующего интеграла.
Пример 3. Дзета-функция Римана определена рядом
OO Tl= і
Мы можем взять f(x) — x~p и тогда
? х-Р+1
j X-TPdX = і і
00
, рф и
1 (5.27)
-р+1 I In*G0, P = 1.
Интеграл, а следовательно, н ряд расходится при /> I и сходится при р>1. Мы получили еще одно независимое доказательство, что гармонический ряд расходится (р— 1), причем расходится логарифмически. Сумма первого миллиона членов гармонического ряда равна 14,392726...
Рассмотренный интегральный признак помогает также определить верхний предел постоянной Эйлера С, определенной формулой
п
C = Iim ( S "T1-In/?). (5.28)
«-+со m=i
Обратимся к частичным суммам
її п
Sn - 2 т~1 - In л < [ In и H. (5.29)
ТИ= t 1
Оценивая интеграл справа, мы видим, что sn < 1 при любых п, и поэтому С<1. Действительно, постоянная Эйлера равна 0,57721566490...
Признак сходимости Куммера. Можно показать, что не существует такого сходящегося ряда, который характеризовался бы наименьшей скоростью сходимости, в равной мере нельзя указать и такого расходящегося ряда, который отличался бы самой медленной расходимостью, т. е. 5.2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
197
признаки сходимости, включая и признак Куммера, могут иногда не дать желаемого результата.
Мы рассмотрим ряд из положительных Uii а также ряд, составленный из ограниченных положительных констант Qi. Если
аД-0«и>С>0 (5.30)
"п+1
для всех n>W, где N-—некоторое фиксированное число,
OO
то ряд 2 Ui сходится. Если же і— 1
On1T1—я»+1<0 (5.31)
ип Ц
оо оо
и ряд 2 аї1 расходится, то и ряд 2 иі также рас-
1=1
ходите я.
Доказательство этого весьма чувствительного признака чрезвычайно просто. Из неравенства (5.30), в котором С — некоторая положительная постоянная, имеем
Си WH -sC aNuN — ?/v+і^лчі > CUN+ 2 -С QN+1UN+1 —
Cun -С on-iWn-i — anun.
(5.32)
Сложив эти выражения и разделив их на С (С ^O), получим неравенство
2 Ui (5.33)
i=/V-f 1
которое позволит оценить частичную сумму
N N
„ ^ V .. I aNUN аФп ^ V M 1 aNUN /г 04Ч
Sn < 2j ui H—с---с~ ^ • ' >
І=1 1=1
Справа стоит константа, не зависящая от п. Следовательно, частичные суммы ограничены сверху. Очевидно, нижняя
граница ряда 2 "г — нуль, и этот ряд сходится. 198 ' глава 5. бесконечные ряды
Расходимость доказывается следующим образом. Из соотношения (5.31)
сіп^п ^ dn-\Un~i (INUN, (5.35)
т. е,
Ил> Onuyi (53б)
ап
и
оо оо
2 Ui>aNuN 2 (5.37)
i=jv-i-i i—N-\-1
На основании сравнительного признака сходимости ряд 2 Щ расходится.
г
Условия (5.30) и (5.31) часто задают в предельной форме Iim (ап-~—Owl) =C. (5.38)
n-»oo V "n+i /
Следовательно, при С>0 ряд сходится, в то время как для С<0 (и ряд 2^1 расходится) расходится. Можно
г
доказать эквивалентность предела (5.38) и неравенств (5.30) и (5.31) и проследить характер неопределенности в случае, когда С- 0. По определению предела,
ап -—— йп+1 — С
"п+1
<8 (5.39)
для всех и любых как угодно малых є>0. Если
ликвидировать знак модуля, то
С —е<ап——а„+1<С + 8. (5.40)
і
Далее, если С > 0, то соотношение (5.30) следует из (5.40) при достаточно малом е. С другой стороны, если С < О, то получается условие (5.31). Однако если C = O, то On (Ип/Ип+і) — ?n+i может быть положительной или отрицательной, поэтому доказательство теряет силу. В основном признак сходимости Куммера служит для доказательства других признаков, например признака Раабе (см. также упр. 12).
Положив в признаке сходимости Куммера ап = п} получим признак сходимости Раабе. 5.2. Признаки сходимости
199
Признак сходимости Раабе. Если ип > 0 и, кроме того,
n(uJuM—\)>P>\ (5.41)
при любых где N — положительное целое число,
которое не зависит от п, то ряд 2 иг сходится. Если
і
П{ип!ип+і-1)<1, (5.42)
то ряд 2 ut расходится.
і
Этот признак можно записать так:
lim п (ип!ипН — 1) = Р. (5.43)
П-+-00
При P > 1 ряд сходится, при P < 1 — расходится, а при P — 1, так же как и в предыдущем случае, возникает неопределенность. Именно этот случай рассмотрен в упр. 13, где приводится как сходящийся, так и расходящийся ряд, причем для обоих рядов P из равенства (5.43) равно единице.
Признак Раабе более чувствителен по сравнению с при-
OO
знаком Даламбера, так как ряд 2 n^i расходится гораздо
П=1
OO
