Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
o4 ~2 І » • • •, on —2— ' J
Теперь очевидно, что гармонический ряд безусловно расходится. В разд. 5.2 мы проведем другое независимое от этого доказательство его расходимости.
Используя биномиальную теорему * (разд. 5.6), можно разложить функцию (1 + я)"1:
^= 1-* + *2-*3+..^-^-1+... (5.14)
* Действительно, уравнение (5.14) можно рассматривать как тождество! которое f проверяется умножением его обеих частей на (1 -Y х).192 ' г л А В А 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Если положить х —> 1, то это разложение перейдет в ряд
I-H-1-1-I-1-1-1-..., (5.15)
который вьиле мы назвали осциллирующим. Несмотря на то что он не сходится в обычном смысле, ему можно приписать определенное значение. Эйлер, например, на основании соответствия этого ряда хорошо известной функции (1 + х)"1 приписывал сумме этих осциллирующих чисел значение 1/2. Однако такое соответствие между рядом и функцией неоднозначно, поэтому здесь требуется уточнение. Разработаны и другие методы определения значения расходящихся или осциллирующих рядов.
5.2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
В некоторых специальных случаях (см. разд. 5.10) можно использовать и расходящиеся ряды, однако мы обычно будем требовать, чтобы ряды были сходящимися, поэтому важно знать заранее, сходится ли данный ряд. Мы исследуем несколько признаков сходимости, начиная с простых и сравнительно грубых и кончая более сложными и совершенно строгими. Для начала будем полагать, что члены ряда — положительные числа: ап >0.
Сравнительный признак. Если для любого члена ряда
выполняется неравенство UnKan, причем 2?n сходится,
п
то ряд 2 ап также сходится. Если для любого члена
п
ряда выполняется неравенство vn>bn, причем ^bn рас-
п
ходится, то и ряд 2 vn расходится.
п
В качестве сходящегося ряда ап мы уже рассматривали геометрическую прогрессию, тогда как гармонический ряд служил примером расходящегося ряда. Наряду с другими сходящимися или расходящимися рядами их можно использовать для исследования сходимости заданных рядов с помощью сравнительного признака.
Пример 1. Исследуем сходимость ряда 2ft~p ПРИ Р=0>999-.
п
Очевидно, /го,999 >/г1, а Ьп = п~і образует расходящийся гармонический ряд, следовательно, на основании сравнительного признака5.2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
193
ряд 2 д-о.и. расходится. Вообще, очевидно, ряд ^ n~v расходится « її при любых р^ I.
Признак Коши. Если а}/п ¦ :r< 1 для всех достаточно больших пу причем г не зависит от п, то ряд 2 Qn схо-
п
дится. Если ah/n > 1 для всех достаточно больших п, то ряд расходится.
п
Первую часть этого признака легко доказать, возводя aj/n<r в степень п. В результате получим
ап < rn < 1.
Поскольку гп в точности равен я-му члену сходящегося ряда (геометрическая прогрессия), ряд сходится
п
на основании сравнительного признака. И наоборот, если
ai/n> 1, то ап> 1, и ряд расходится. Этот признак особенно удобен при исследовании сходимости степенных рядов (см. разд. 5.7).
Признак Даламбера. Если а!Н11ап < г < 1 для всех достаточно больших п, причем г не зависит от п, то
ряд 2 ап сходится. Если ап+і!ап > І для всех достаточно
п
больших п, то ряд 2і0™ расходится.
п
Сходимость доказывается прямым сравнением с геометрической прогрессией ап (1 -f г + г2 . . .). Вторая часть признака означает, что an+t > ant в силу чего расходимость должна быть достаточно очевидной. Хотя признак Даламбера не является таким чувствительным, как признак Коши, однако он относится к числу наиболее удобных и поэтому используется очень часто. Запишем этот признак сходимости в предельной форме:
|< 1 ряд сходится,
>1 ряд расходится, (5.16)
= 1 неопределенность.
Вследствие неопределенности, возникшей в третьем варианте, признак сходимости Даламбера может привести к ошибке в точках поворота, поэтому необходимы более тонкие
13—>1257194
ГЛАВА 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
и чувствительные признаки. Возникает вопрос: откуда появилась эта неопределенность. В действительности же она содержалась уже в первом условии an+ilan4i г <. 1. Можно столкнуться с таким положением, когда ап+\1ап < 1, но нельзя выбрать r< 1, независимое от п, так, чтобы ап+i/fl;i г для всех достаточно больших п. Поясним это на примере того же гармонического ряда
= (5.17)
Cln "-hi 4 '
Вследствие того что
Iim^n=Il (5.18)
л-*оо ап
нельзя найти такое г < 1, чтобы при любых п выполнилось исходное требование признака, т. е. в этом случае указанным признаком пользоваться нельзя.
Пример 2. Исследуем сходимость ряда У) п
п2п
«»+1 ('4-1)/2"+1 1 «-1-І
Поскольку
an+i/"n<3/4 для (5.20)
указанный ряд сходится. С другой стороны,
Hm (апН(ап)= 1/2, (5.21)
п-юэ
и мы вновь получим подтверждение сходимости ряда.
Интегральный признак Коши. Пусть f (х)—непрерывная монотонная функция, такая, что f(n) = an. Тогда ряд
со
4^an сходится, если интеграл \ f(x)dx конечен, и рас-
{
ходите я, если этот интеграл бесконечен.
Этот признак представляет собой разновидность сравнительного признака сходимости, в нем ряд сравнивается с интегралом. С геометрической точки зрения мы сравниваем суммарную площадь прямоугольников единичной ширины с площадью, ограниченной кривой. Для і-й частичной суммы