Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 52

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 185 >> Следующая


o4 ~2 І » • • •, on —2— ' J

Теперь очевидно, что гармонический ряд безусловно расходится. В разд. 5.2 мы проведем другое независимое от этого доказательство его расходимости.

Используя биномиальную теорему * (разд. 5.6), можно разложить функцию (1 + я)"1:

^= 1-* + *2-*3+..^-^-1+... (5.14)

* Действительно, уравнение (5.14) можно рассматривать как тождество! которое f проверяется умножением его обеих частей на (1 -Y х). 192 ' г л А В А 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ

Если положить х —> 1, то это разложение перейдет в ряд

I-H-1-1-I-1-1-1-..., (5.15)

который вьиле мы назвали осциллирующим. Несмотря на то что он не сходится в обычном смысле, ему можно приписать определенное значение. Эйлер, например, на основании соответствия этого ряда хорошо известной функции (1 + х)"1 приписывал сумме этих осциллирующих чисел значение 1/2. Однако такое соответствие между рядом и функцией неоднозначно, поэтому здесь требуется уточнение. Разработаны и другие методы определения значения расходящихся или осциллирующих рядов.

5.2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ

В некоторых специальных случаях (см. разд. 5.10) можно использовать и расходящиеся ряды, однако мы обычно будем требовать, чтобы ряды были сходящимися, поэтому важно знать заранее, сходится ли данный ряд. Мы исследуем несколько признаков сходимости, начиная с простых и сравнительно грубых и кончая более сложными и совершенно строгими. Для начала будем полагать, что члены ряда — положительные числа: ап >0.

Сравнительный признак. Если для любого члена ряда

выполняется неравенство UnKan, причем 2?n сходится,

п

то ряд 2 ап также сходится. Если для любого члена

п

ряда выполняется неравенство vn>bn, причем ^bn рас-

п

ходится, то и ряд 2 vn расходится.

п

В качестве сходящегося ряда ап мы уже рассматривали геометрическую прогрессию, тогда как гармонический ряд служил примером расходящегося ряда. Наряду с другими сходящимися или расходящимися рядами их можно использовать для исследования сходимости заданных рядов с помощью сравнительного признака.

Пример 1. Исследуем сходимость ряда 2ft~p ПРИ Р=0>999-.

п

Очевидно, /го,999 >/г1, а Ьп = п~і образует расходящийся гармонический ряд, следовательно, на основании сравнительного признака 5.2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ

193

ряд 2 д-о.и. расходится. Вообще, очевидно, ряд ^ n~v расходится « її при любых р^ I.

Признак Коши. Если а}/п ¦ :r< 1 для всех достаточно больших пу причем г не зависит от п, то ряд 2 Qn схо-

п

дится. Если ah/n > 1 для всех достаточно больших п, то ряд расходится.

п

Первую часть этого признака легко доказать, возводя aj/n<r в степень п. В результате получим

ап < rn < 1.

Поскольку гп в точности равен я-му члену сходящегося ряда (геометрическая прогрессия), ряд сходится

п

на основании сравнительного признака. И наоборот, если

ai/n> 1, то ап> 1, и ряд расходится. Этот признак особенно удобен при исследовании сходимости степенных рядов (см. разд. 5.7).

Признак Даламбера. Если а!Н11ап < г < 1 для всех достаточно больших п, причем г не зависит от п, то

ряд 2 ап сходится. Если ап+і!ап > І для всех достаточно

п

больших п, то ряд 2і0™ расходится.

п

Сходимость доказывается прямым сравнением с геометрической прогрессией ап (1 -f г + г2 . . .). Вторая часть признака означает, что an+t > ant в силу чего расходимость должна быть достаточно очевидной. Хотя признак Даламбера не является таким чувствительным, как признак Коши, однако он относится к числу наиболее удобных и поэтому используется очень часто. Запишем этот признак сходимости в предельной форме:

|< 1 ряд сходится,

>1 ряд расходится, (5.16)

= 1 неопределенность.

Вследствие неопределенности, возникшей в третьем варианте, признак сходимости Даламбера может привести к ошибке в точках поворота, поэтому необходимы более тонкие

13—>1257 194

ГЛАВА 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ

и чувствительные признаки. Возникает вопрос: откуда появилась эта неопределенность. В действительности же она содержалась уже в первом условии an+ilan4i г <. 1. Можно столкнуться с таким положением, когда ап+\1ап < 1, но нельзя выбрать r< 1, независимое от п, так, чтобы ап+i/fl;i г для всех достаточно больших п. Поясним это на примере того же гармонического ряда

= (5.17)

Cln "-hi 4 '

Вследствие того что

Iim^n=Il (5.18)

л-*оо ап

нельзя найти такое г < 1, чтобы при любых п выполнилось исходное требование признака, т. е. в этом случае указанным признаком пользоваться нельзя.

Пример 2. Исследуем сходимость ряда У) п

п2п

«»+1 ('4-1)/2"+1 1 «-1-І

Поскольку

an+i/"n<3/4 для (5.20)

указанный ряд сходится. С другой стороны,

Hm (апН(ап)= 1/2, (5.21)

п-юэ

и мы вновь получим подтверждение сходимости ряда.

Интегральный признак Коши. Пусть f (х)—непрерывная монотонная функция, такая, что f(n) = an. Тогда ряд

со

4^an сходится, если интеграл \ f(x)dx конечен, и рас-

{

ходите я, если этот интеграл бесконечен.

Этот признак представляет собой разновидность сравнительного признака сходимости, в нем ряд сравнивается с интегралом. С геометрической точки зрения мы сравниваем суммарную площадь прямоугольников единичной ширины с площадью, ограниченной кривой. Для і-й частичной суммы
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed