Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Пример I. Пусть
Л =
(4.120)
Секулярное уравнение имеет вид
-X 1 0
1 0
,0 O-X или
=0
(4.121)
(4.122)
Корни этого уравнения X= — 1, 0, I. Для нахождения собственного вектора, соответствующего X— — 1, подставим это значение в уравнение (4.I17)
1 -X (4-123)
0 0 -Х/\г/ W
при X ~ — 1 это дает
x-\-y=Q, z—0.
(4.124)
С точностью до произвольного множителя її произвольного знака (или фазы) Гі = (і, — 1, 0). Отметим, что (для вещественных г в обычном пространстве) собственный вектор определяет линию в пространстве, 4.5. ДИАГОНАЛИЗЛЦИЯ МАТРИЦ
185
Однако его знак произволен. Эту неопределенность можно было ожидать заранее, если вспомнить, что уравнение (4.1*17) однородно относительно г. Для простоты мы потребуем, чтобы собственные векторы были нормированы на единицу Ir1)-!. При таком выборе
П = (1/1/2, -1/У2, 0). (4.125)
Для Я — 0 уравнение (4.117) приводит к
у=,0, х = 0, (4.126)
откуда второй собственный вектор Г2=(0, 0, 1). Наконец, для Я=1 получим
—X-Yу=Oi 2—0 (4.127)
или
г3 = (1/ 1/2, 1/1/2, 0). (4.128)
Легко убедиться в ортогональности Гі, г2 и г3, соответствующих трем собственным значениям.
Пример. 2. Рассмотрим матрицу
Л 0 Оч
A = О 0 II. (4.129)
Vo 1 0/
Секулярное уравнение имеет вид
1-Я 0 О
0 -Я 1
,0 1-Я или
(1-Я) (Я2-D = 0, Я=-I3 1, 1, (4.131)
т. е. мы имеем вырожденный случай. Если Я= — 1, то уравнение для собственных значений (4.117) дает
2х = 0, у + г = 0. (4.132)
Соответствующий нормированный собственный вектор равен
П = (0, 1/1/2, -1/1/2). (4.133)
Для Я=1 получим
-У+г=0, (4.134)
никакой дополнительной информации относительно переменной х не имеется. Мы получили бесконечное число возможных значений. Допустим, что один из возможных вариантов—
Г«=(0,1/1/2, 1/1/2), (4.135)
который удовлетворяет уравнению (4.134). Поскольку г3 должен быть перпендикулярен F1 и его можно выбрать перпендикулярным Г2, поло-
го (4.130) 1Вб
Г Ji A O А 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТ F. Jltl
жим Cio равным
T3 = I4Xr2=(IjOtO). (4.136)
Диагонализация. Для получения матрицы преобразования, которая приводит эрмитову матрицу А к диагональному виду, можно воспользоваться уравнениями, выведенными при доказательстве теоремы единственности. Пусть R — матрица, образованная из трех ортонормированных вектор-столбцов rlf г2 и г3, расположенных в требуемом порядке,
R= У і Уж У* I (4-137)
в которой каждый столбец [Xil уи Zi] представляет собой собственный вектор Vi. Поскольку
Г{Г / — (4.138)
матрица R унитарна (или просто ортогональна, если А
и, следовательно, г* вещественны). Тогда, преобразуя RiAR, имеем
/К1\
R*AR= [ifl U(Ir1) {г2}{г3})=--
Vfr3I/
'Wl\ Ai 0 о\
((V)(^r2)M= 0 X2 0 . (4.139)
,Ir3*]/ \0 0 Xj
Отсюда видно, что R^AR — диагональная матрица с собственными значениями Xu порядок собственных значений соответствует порядку вектор-столбцов V1 ъ R. Чтобы дать геометрическую трактовку, возьмем в качестве примера вещественную (симметричную) матрицу А с вещественными собственными значениями и собственными векторами. Матрица R соответствует В'1 из уравнения (4.68)
Л/
или, что лучше, R соответствует В\ R составлена из собственных векторов rif записанных в виде вектор-строк:
'[г,1\ Уі гД Zbil bl2 bl3\
M Ы*2 Уг Z2J = U21 b^ ^231 • (4.140) Jr3]/ \*3 Уз Z3J \b3l b32 bj 4.5. ДИЛГОІІЛЛПЗЛЦИЯ МАТРИЦ
187
Далее, строка Ibib biZi 1, которая определяет единичный вектор Ti в первоначальной системе координат, задает три направляющих косинуса, характеризующих расположение Г| относительно осей этой системы. Поскольку В осуществляет поворот системы координат, причем в новой системе матрица А диагональна, новая система определена С помощью Трех собственных векторов Ti — (jcj, у і, Zi). Они являются единичными векторами, направленными вдоль главных осей, т. е. тех осей, относительно которых матрица А диагональна.
Содержание этого раздела дает представление о диаго-нализации матриц. Однако для матриц размером более чем 3X3 процесс диагонализации становится настолько затруднительным, что гораздо целесообразнее использовать вычислительные машины и итерационные методы.
1. Показать, что собственные значения матрицы не изменяются при преобразовании подобия.
2. Предполагая, что унитарная матрица U удовлетворяет .уравнению для собственных значений Ur=Xr1 показать, что собственные значения унитарной матрицы равны единице.
3. Две матрицы диагонализируются с помощью одного и того же преобразования подобия. Показать, что исходные матрицы должны коммутировать. Замечание. Это свойство особенно важно в матричной (гейзенберговской) формулировке квантовой механики.
4. Две эрмитовы матрицы А и В имеют одинаковые собственные значения. Показать, что эти матрицы связаны унитарным преобразованием подобия.
б. Найти матрицу преобразования, которая связывает матрицы единичного спина из упр. 3 и 4 к разд. 4.2 (преобразование подобия). Замечание. Необходимо помнить, что мы можем по своему усмотрению распорядиться фазовым множителем.
