Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
ип rc2-fa^ + ao
un+i nZ-j-bin—bo
При каких значениях параметров A1 и bi 2 % сходится (расходится)? 12. Исследовать сходимость ряда
OO
2Г1-3-5 ... (2n—1)-|2_ 1 J25
L 2-4-6...(2п) J ~ 4 64 256
tl=i
13. Показать, что У, Ьп сходится или расходится в зависимости от сходимости или расходимости ап, если lim Ьп/ап=К, где
Н—>00
0</С<сю (/<"— постоянная). Указание. Рассмотреть ряды с членами b'n = bn/2K {b'^ = 2bnlK) в случае, когда ряд 2 ап сходится (расходится).
OO
2 J J
—— — ~ Указание. Показать (2л— 1) (2л-|- 1) 2
Tl= і
(методом математической индукции), что л/(2л-{-1). 15. Показать, что
OO OO
1 . Vl 1 II
ал ~Ьоес4 • *'
S л (л-И) Sn
(n-Ll) ' П п(п+1)(л + 2)...(я + р) P р!
Ti— 1 Tl=I
5.3. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
Рассмотрим бесконечные ряды со знакопеременными членами. Частичное взаимное уничтожение членов, обусловленное противоположными знаками, улучшает сходимость ряда. Докажем теорему Лейбница, которая устанавливает общее условие сходимости знакопеременных рядов.
OO
Теорема Лейбница. Знакопеременный ряд 2(~
П=1
в котором ап~>0, сходится, если его члены монотонно убывают для достаточно больших п н, кроме того, Iim ап = 0.
П->оо 204
І' Л А В Л 5. БЕСК.011 ЁЧНЫН РЯДЫ
Для частичных сумм этого ряда
S2n ~ а,\ — U2 "Ь — • • • — &2/1} S2H (-2 -- S2n ' і" (o2n-H — Cl2n ьг) •
Поскольку а2п+1 >а2п+2, имеем
S2n+2^> $2п* (5.52)
С другой стороны,
$271+2 ~ aI — (?2 — Яз) — (аЬ — «б) — • • • — «2П+2 • (5.53)
Легко видеть, что а2р — а2р.ы>0, и поэтому частичная сумма (5.53) остается ограниченной сверху:
s27i+2<fli. (5.54)
Из ограниченности четных частичных сумм сверху и снизу S2n<52n + 2<ai и монотонного стремления Cln к нулю следует сходимость данного знакопеременного ряда.
Образуем теперь разность между суммой ряда S и частичной суммой sn
S — Sn - ¦ ап4 j — ап+2 йп+з — a,i+5 -J-... =
~ cin+i — (ап+2— O71+3) — (071+4^^145)— • • • (5.55)
или
5 — s„<an+1. (5.56)
Неравенство (5.56) показывает, что ошибка, вносимая обрезанием знакопеременного ряда на п-м члене, меньше ап+ь т. е. меньше первого следующего члена.
Таким образом мы получили метод оценки ошибки, что очень важно при расчетах.
Абсолютная сходимость. Пусть 2an — знакопеременный сходящийся ряд, тогда если ряд 2 | Un | сходится, то ряд 2 ип сходится абсолютно; если ряд %ип сходится, а 2 | ип \ расходится, то исходный ряд сходится условно, или неабсолютно.
Примером условно сходящегося ряда может служить знакопеременный гармонический ряд. На основании .теоремы Лейбница ряд
OO
2 (-1)»-',г'- 1-1 + 1-1+.(5-57'
П=1
(5.51) ?.4. АЛГЕБРА РЯДОЙ 205
> - -________—-1--
сходится, тогда как ряд
OO
2 л"' - 1+1 + 1 + 1+ ... +1+ ... (5.58)
Tl= 1
расходится.
Отметим еще раз, что все признаки сходимости, полученные в разд. 5.2, предполагали положительность членов ряда, поэтому они гарантируют абсолютную сходимость.
Упражнения
1. Исследовать ряд (—1)к на сходимость (абсолютную
k
или условную) для всех значений параметров аир.
2. Показать прямым вычислением, что сумма первых десяти чле-
OO
нов ряда Iim In (1 rf *) = In 2= J] (— l)n_1 /г-1 отличается от точного
x^i Tl= і
значении In 2 менее чем на величину одиннадцатого члена In 2 = 0,0931471806...
5.4. АЛГЕБРА РЯДОВ
Можно доказать, что абсолютно сходящийся ряд подчиняется обычным, хорошо известным правилам алгебры или арифметики, поэтому для любого заданного ряда важно выяснить, является ли он абсолютно сходящимся или нет.
Имеют место следующие теоремы.
1. Если бесконечный ряд сходится абсолютно, то его сумма не зависит от последовательности сложения членов ряда.
2. Ряд можно умножить на другой абсолютно сходящийся ряд. Сумма ряда, получившегося в результате перемножения, равна произведению сумм двух исходных рядов, а сам ряд, называемый двойным, также сходится абсолютно.
Этого нельзя утверждать для условно сходящихся рядов. Рассмотрим знакопеременный гармонический ряд. Сгруппируем его члены следующим образом:
+ J-T+"' (4 ~ "з) ~~(т ""б)"'"
(5.59) 20(3 ' І" Ji A Ii А 5. ВЕСКОНЁЧНЫЕ |>ЯДЫ
т, . I— III ¦ I I ... I.I M . ¦!¦¦! ¦ !¦ - .1 .. . - II.. ..... , Д>
Очевидно, что сумма этого ряда удовлетворяет неравенству
OO
2(-1)"-*/T1Cl. (5.60)
п= 1
Теперь перегруппируем члены ряда так:
+ (]7+ . • • + 2б) - ( 6") + (27+ . • •+35) - ("8 ) + . . •
(5.61)
Считая, что члены, сгруппированные в отдельных скобках, образуют некоторые новые члены, имеем частичные суммы 5, = 1,5333; S2 - 1,0333; S3 = 1,5218; S4 = 1,2718; S5 = = 1,5143; s6 = 1,3476; S7 = 1,5103; S8 = 1,3853; S9 - 1,5078.
попеременного гармонического ряда к 1,5.
Графики зависимости значения Sn от числа членов п (рис. 5.2) ясно показывают, что ряд сходится к 1,5. Как видим, члены перегруппированы так, что сумма положительных членов равна или превосходит 1,5, последующее добавление отрицательного члена делает следующую частичную сумму меньше 1,5 и т. д. Поскольку ряд бесконечен, все его члены при такой операции окажутся 5.4. АЛГЕБРА РЯДОВ
