Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
OO
C(S)= E S>1. (5.137)
Tl= 1
На рис. 5.4. представлена зависимость С (s) —1 от s. Интегральное представление дзета-функции Римана рассмотрено в разд. 10.2 как часть общей теории гамма-функции. 230 Г Л А В А 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Другое интересное представление дзета-функции Римана можно получить так:
C(S)-(I-^)--I 1 ^r ь + + (5.138)
Здесь со знаком минус взяты все п~$, в которых п умножено на 2. Далее,
"Ь"7Г+9Г+ • • • — • • •)' (5.139) 5.8. ЧИСЛА БЕІЖУЛЛИ
231
здесь вычитаются все члены, в которых п умножено на З, Продолжим эту операцию и образуем произведение ? (s) х X (1 - 2"5) (1 - З"8) (1 - 5~s)... (1 - P~s)y где P - простое число; все члены п, в которых п умножено на любое целое число, меньше или равное Р, взаимно уничтожаются. При
P —> OO
?(s) (1 -2-s) (1 -3-s)... (1-P-5) =
OO
= l(s) II (I-P-^ = I, (5.140)
P=2
где Р — простое число, откуда
OO
{(«)=! П (1-Щ~1. (5-141)
Р—2
Полученная формула определяет функцию ? (s) в виде бесконечного произведения по всем простым числам.
Таблица значений дзета-функции Римана приведена в разд. 10.2.
Упражнения
1. Показать, что
j to Г ULibi) d,=U2).
о 0-> о
Как следует из упр. 2, ? (2) = я2/6. Заметим, что подынтегральная функция во втором интеграле расходится при а = 1, однако проинтегрированный ряд сходится.
2. Для «малых^ значений х
OO
in и=-с*+2 (-*>п-^r *п'
п=2
где C—постояшіая Эйлера, а дзета-функция Римана. При каких значениях X этот ряд сходится? (Ответ: — 1 <х<1.) Заметим, что при je= 1 с помощью этого ряда определяется постоянная Эйлера
оо
с- 2 (-і)пт/п.
п= 2
3. Показать, что ряд для функции 1п(х!) (см. упр. 2) можно записать в виде
OO П=1 232 ҐЛАвА 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
In(Xl) 'in ' |„ (1+1)+(,-0,-
v 2 V sinnx / 2 V 1-х / 4 '
OO
X-I X2n+1
-2 IC<*"M)-4 -ZTh-
Tl= 1
Определить область сходимости этих рядов. 1
!dx
[]n(l—x)]2 — встречается в поправке четвертого
о
порядка к магнитному моменту электрона. Показать, что интеграл равен 2? (3). Указание. Положить 1 — х = е~'.
5. Закон излучения черного тела Планка содержит интеграл
оо
Sx3 dx
—р . Показать, что он равен 6? (4).
О
6. Показать, что уравнение (5.124) (из обеих частей которого вычли Bi) совместно с (5.130). Исходя из уравнения О*
VX 2(2д)! Г,о ^
X І (2/t), Показать, что
7. Доказать, что
OO
{тЗ^2=4!'-^+-^-^+"-)-
U
Интегрированием по контуру (гл. 7) можно убедиться, что этот интеграл равен я3/8.
8. В приближении Блоха — Грунайссена сопротивление одновалентного металла равно
в/г
-г — f *bdx Р O6 J (ел— 1)(1 — е ж) ' и
где в —характеристическая температура Дебая для данного металла.
CT T^
Показать, что р «к-j-¦ — при Г—> оо и 5t, (5) C-qg пРи 5.9. веской пчпып произвел 1:11 !!я
233
5.9. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Рассмотрим последовательность положительных множителей /"1-/2-/3-/4. . • /л, (/і >0)- Использовав для обозначения произведения знак П, запишем
/1/2/3 • -In^ fj ft- (5.142)
і— 1
По аналогии с частичной суммой sn введем частичное произведение рп:
Pn= П Ii (5143)
»=1
и затем исследуем предел
Iim Pn-P. (5.144)
Tl-VOO
Если P конечно (но не равно нулю), мы можем сказать, что бесконечное произведение сходится. Если P бесконечно или равно нулю, то бесконечное произведение называют расходящимся.
Произведение стремится к бесконечности, если
Iim /„>1, (5.145)
п=оо
или к нулю, если
Iim/п<1 (и больше нуля), (5.146)
П=оо «
поэтому удобно записать бесконечное произведение как
OO
[J (1+Йп)» причем условие ап —» О — необходимое (но не
Tl= 1
достаточное) условие сходимости.
Логарифмируя бесконечное произведение, можно установить его связь с бесконечным рядом:
oo oo
In П (Пап) = S ln(l+a„). (5.147)
ll—l tl= 1
Сходимость бесконечного произведения. Бесконечные
oo oo
произведения [] (1 + ап) и [] (1 — ап) при О < а < 1 схо-
W=I 234
'ГЛАВА б. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
OO
дятся, если сходится ряд 2 a^ и расходятся, если этот
U=I
ряд расходится.
Выделим множитель (l+aj. Учитывая (5.90), можно записать, что
(14-впХеЧ (5.148)
Следовательно, частичное произведение рп
рп<е\ (5.149)
При п —> OO получим
OO . OO
[J (1+а„)<ехр S ап. (5.150)
U=I H=I
Этим установлена верхняя граница для бесконечного произведения.
Для выяснения нижней границы заметим, что
п п 7)
Pn = 1+ ^al + ^ ^aiUj+ ... >sn, (5.151)
І=1 I=Ij=I
так как Ui > 0. Отсюда
С» OO
II (Uan)> S а«. (5.152)
U=I Tl= 1
Если сумма бесконечного ряда остается конечной, то бесконечное произведение тоже будет конечным. Если же ряд расходится, то произведение тоже расходящееся.
Произведение W (1 — ап) усложнено наличием отрицательных знаков, однако теорема доказывается и в этом случае, если учесть, что для ап < 1/2 (вспомним, что сходимость требует условия ап ->• 0)
(1 + 2ап)'1 < (1 - ап)< (1 + апу\ (5.153)
В дальнейшем читатель узнает, что полином Pn (х) п-то порядка с п вещественными корнями записывается в виде произведения п множителей
