Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 51

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 185 >> Следующая


6. Найти собственные значения и построить матрицы R и J?-1. которые будут приводить матрицу А к диагональному виду А' =

л л

-R'1 AR. Считать, что А равно Gi или O2 из набора спиновых матриц Паули (упр. 1 к разд. 4.2).

7. Определить собственные значения и найти систему соответствующих ортонормированных (ортогональных и нормированных) собственных векторов для матриц из упр. 3, 4 и 5 к разд. 4.2.

8. Цайти собственные значения и соответствующие ортонормиро-ванные Собственные векторы для следующих матриц:

Упражнения

1 0 1

2 4-6 188

Г JJ А В А 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

(1 1 0\ / 1 у» 0\ / 1 0 0\

1 0 1 , 5) h/8 1 1/8 J, 6) J 0 1 1 J, 0 11/ \ О VS W \0 1 1/

/1 О 0\ /0 1 0\ /2 0 0\ 7) О 1 V2J, 8) j 1 О 1 I, 9) І0 1 Ij.

\0 V2 0/ \0 I О/ \0 1 J

Ответ: 1) X=O, 1, 2; 2) X=-17, -1, 10; 3) X=-I, 0, 2; 4) X= = - 1, 1, 2; 5) X = - 3, 1, 5; 6) X = О, 1, 2; 7) X = - 1, 1, 2;

8) X= -У2, О, V2; 9) X=O, 2, 2.

9. Твердое тело задано тремя точечными массами Ші = 1 в точке (1, 1, —2); т2=2 в точке ( — 1, —I, 0); m3—1 в точке (1, 1, 2). Найти матрицу инерции, диагонализировать ее и определить собственные значения и главные оси (ортонормированные собственные векторы).

10. Показать, что недиагональную матрицу с вещественными матричными элементами нельзя диагонализировать ортогональным преобразованием подобия.

И. Квадратная матрица, определитель которой равен нулю, называется CUHZffAnpHOlI.

Показать, что необходимым и достаточным условием существования для сингулярной матрицы Л, по крайней мере одного ненулевого вектор-столбца v, является равенство

Л V=O. »

ГЛАВА 5 БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ 5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

OO

Выражение вида S Cii = -f а2 + Яз + • • • + <*п +

І= і

4- . •• • называется бесконечным рядом, в котором суммируется бесконечное число членов. В основе теории функций часто лежит представление исследуемых функций рядами. С помощью рядов вычисляют точные значения трансцендентных констант, функций и интегралы (разд. 5.6 и 5.7), решают дифференциальные уравнения (разд. 8.4 и 8.5), рядами Фурье (гл. 14) наряду с интегральными представлениями пользуются для описания большого числа специальных функций (гл. 11—13).

Определим значение суммы бесконечного числа членов. Для этого обычно начинают с частичных сумм. Пусть задана последовательность бесконечного числа членов Wi, W2, W3, «4» "5» ... Определим г-ю частичную сумму как сумму конечного числа членов

і

(5-І)

IX= і

Если частичные суммы Si сходятся к конечному пределу при І—>оо

lim Si = Sf (5.2)

г-у оо

OO

то говорят, что бесконечный ряд 2 ип сходится к S.

TI=I

Важно отметить, что мы вполне разумно, но пока еще произвольно определили равенство суммы ряда величине Кроме того, следует помнить, что необходимое условие сходимости заключается в равенстве нулю предела Iimwn = O,

¦ n-> OO

Однако это условие не является достаточным. 190 ' г л А В А 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ

Частичные суммы Si могут осциллировать, а не сходиться к определенному пределу, например:

S «„=1-1 + 1-1 +1 + ...+(-1)п+... . (5.3)

п=1

Очевидно, для четных і Sj = Ij а для нечетных s,- = 0. В данном случае ряд не имеет предела, подобные ряды и азывают осциллирующими. Для ряда

OO

2 я = 1 + 2 + 3+...+ я+... (5.4)

71=1

мы имеем

*, = »??«. (5.5)

При /г—>00

Iimsrt^oo. (5.6)

п-юо

Всякий раз, когда последовательность частичных сумм расходится (стремится к ± оо), бесконечный ряд называется расходящимся. Часто расходящимся называют и осциллирующий ряд.

Поскольку мы оценивали частичные суммы по правилам обычной арифметики, сходящиеся ряды, определенные как пределы частичных сумм, предполагают существование точной верхней границы. Два следующих примера помогут выяснить главные свойства сходящихся и расходящихся рядов, а также послужат основой для дальнейшего рассмотрения.

Геометрическая прогрессия, первый член которой равен a, a знаменатель г (г ^ 0), имеет вид: а, аг, аг2, аг3, . . ., агЛ_1, . . . Частичная сумма прогрессии равна

1_гп

Sn = a-YZT' <5>7)

Переходя к пределу при п—>оо, получаем

Iimsrt = -T^- дляг<1. (5.8)

П-*0о 1 г 5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Idt

Следовательно, бесконечный ряд, образованный геометрической прогрессией, сходится при г<1 и имеет своей суммой

OO •

2 да-'"1~ J^7. (5.9)

И—і

С другой стороны, если г ;> 1, необходимое условие Un О не выполняется, и бесконечный ряд расходится.

В качестве второго, более сложного примера, рассмотрим гармонический ряд

СО

S T1 = I +7 + Т + 7+---+1+--- (5Л°)

Tl= і

Мы Имеем Iim ип — Iim — = 0, но этого недостаточно

71-)-OO П-ЮО ^

для сходимости ряда. Если сгруппировать члены ряда (не изменяя их порядка) так:

1+іЦі+і) + (і+і+т+і) +

(5Л1)

то можно заметить, что в каждых скобках содержится р членов вида

+ n_L 9 + • ' ' + n_i_n > ^ ' (5.12)

р+1 1 P-Y2 1 » P-YP^ 2р~ 2'

Образуем частичные суммы последовательным сложением сгруппированных членов:

Si=I1 S2 — -o~, S3>~9-1 I

s>5 s>6 s>„ + 1 (5-13)
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed