Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
St 1
и
сю
S (-1^1-T = lnC1+^)' о<*<1 (^73)
jl==i
ряды сходятся' равномерно (указаны интервалы сходимости), но эти ряды не сходятся абсолютно. Однако ряд
2о-*)*Ч1 I хТ1, <574)
„ I 0 при X = і
п==0 4 г
сходится абсолютно, но не сходится равномерно в замкнутом отрезке.
Из определения равномерной сходимости следует, что любой ряд
со
f (X) = S Un (X) (5.75)
п= 1
не может сходиться равномерно в интервале, на котором функция f (х) имеет разрывы.
Признак Вейерштрасса устанавливает как равномерную, так и абсолютную сходимость, поэтому он всегда нарушается в случае равномерно, но условно сходящегося ряда.
Более тонкий признак равномерной сходимости — признак Абеля - если ип (х) = anfn (х) и ряд ^an-A сходится, а функции fn (дг) монотонны и ограниченны 0 ^ /п (х) ^ M
для всех X на Iai Ь], то ряд (х) сходится равномерно на (а, Ь].
Этот признак применяется при анализе степенных рядов. (Подробное доказательство признака Абеля и других признаков равномерной сходимости см. в специальной литературе, рекомендованной к этой главе).
Полезно обратить внимание на следующие свойства равномерно сходящихся рядов:
1) если отдельные члены ряда ип (х) непрерывны, то сумма ряда
со
/W=S Un(X) (5.76)
tl=i
также непрерывна;
И* Г л a fe а 5. бескоііеЧнЬіе ряды
/
2) если отдельные члены ряда ип (х) непрерывны, то ряд можно интегрировать почленно, причем сумма интегралов равна интегралу от суммы:
Ь СО I)
j f (х) dx = 2 J Un (л) dx; (5-77)
о n=i о
если ип(х) и du^ непрерывны на [a, b] и, кроме того,
OO
S dUdxРавН0МеРН0 сходится на [а, 6], то производная
W—1
суммы ряда f (jc) равна сумме производных каждого члена в отдельности:
OO
(5-78)
U= і
Почленное интегрирование ряда предполагает только равномерную сходимость и непрерывность всех его членов. Как правило, в различных физических приложениях эти условия почти всегда выполняются. Почленное дифференцирование ряда зачастую нельзя производить из-за более жестких условий, которые должны при этом выполняться (см., например, гл. 14).
. Упражнения
1. Определить область равномерной сходимости рядов
OO OO
2 (-Ir-1MxH 2 1Mx- Ответ: 1<*<оо и l<s<x<oo.
n~i Tl= і
2. Можно убедиться, что два ряда Фурье
OO OO
Я —X XlSinnx Л1 (Л . (Х\\ Vl COSMJC
-2—н -2lnI2sin Ы)-2 —
Tl-I Tl= 1
равномерно сходятся в области s<x<2ji—s, где s>0.
Можно ли почленно дифференцировать и интегрировать эти ряды?
OO
3. Для каких X геометрическая прогрессия 2 *п схОДится рав-
п=0
номерно? Ответ: ~~1<— 5.6. РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕЙЛОРА 213
оо
4. Для каких *>0 ряд 2 WH~*n) сходится, сходится рав-
п=0
номерно?
5. Ряды 2 ап и 2 ^n СХ°ДЯТСЯ абсолютно. Доказать, что ряд Фурье 2 (ап cos пх Ьп sin пх) равномерно сходится в области
— OO < ЛГ< оо.
5.6. РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕЙЛОРА
Разложение Тейлора представляет собой разложение функции в бесконечный ряд либо в ряд с конечным числом членов, к которому добавляется остаточный член. Коэффициенты членов ряда содержат производные этой функции, порядок которых равен порядковому номеру соответствующего члена. Мы уже пользовались разложением Тейлора при выяснений физического смысла дивергенции (см. разд. 1.7) и в других разделах гл. 1 и 2. Теперь получим само разложение.
Будем предполагать, что заданная функция f (*) имеет непрерывную производную /1-го порядка * на отрезке a ^ X <; Ь. Проинтегрируем /i-ю производную п раз
л
j /<П) (JC) dx = Г'1' (х) I* = f^-b (JC) - Pn'1* (а),
а
X X
а а
(5.79)
j (j /(П) (*} dx}dx=\ [f<n"1) (*) - (a)) dx
а
- /(Я~2) (х)-/(П"2) (а)-(х-a) fw (а),
X
JjJ Г (X) (dxf^
= /(П~3) (X)-(а)-(х-а)/(П~2) (а)-/(П"1} (а).
(5.80)
* Разложение Тейлора можно получить при несколько менее жестких условиях (см. Jeffreys Н. S., J е f f г е у S В. S. Methods of Mathematical Physics. Cambridge, Cambridge University Press, 1950). 214
'ГЛАВА б. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Наконец, после /і-кратного интегрирования
X
J ... jrW(d*)"-fM-/(«)-(*-fl)n«)-
а
(5.81)
Заметим, что это выражение точное. Оно содержит все члены, и при его получении не делалось никаких предположений. Разрешая (5.81) относительно f(x), получаем
/(*) = / (а) + (х-а) Г (а) +
+ (5.82)
Остаточный член Rn задан в форме я-кратного интеграла
X
Rn = j ... \jf^(x)(dx)n. (5.83)
а
Привлекая из дифференциального исчисления теорему о среднем значении, его можно представить в более удобной форме
X
j g(x)dx = (x-a)g[t), (5.84)
а
где а < I < X. После гс-кратного интегрирования имеем остаточный член в форме Лагранжа
Я„ =Jf=^P(I). (5.85)
В разложении Тейлора в форме (5.82) не возникало вопроса о сходимости бесконечного ряда, так как он конечен. Задача заключается только в выяснении величины остаточного члена. Если f(x) такова, что
Iim Rn = O1 (5.86)
П-+ОЭ
то разложение (5.82) переходит в ряд Тейлора:
/(*) = f(fl) + (*-a)f'(a) +
OO
+^m+... = 2i^r(«г- (5-87)
п= О
* По определению, 0! = 1 (см. разд. 10.1). 5.6. РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕЙЛОРА
