Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
медленнее ряда 2 п> Мы получим еще более тонкий при-
п— 1
знак (Гаусса) (и еще менее удобный для практического использования), если выберем ап — п\пп.
Признак сходимости Гаусса. Если ип> О для всех конечных п и
"" + (5-44)
"л+1 Я л2
где В(п)—функция, ограниченная при оо, то ряд
2 Щ сходится для h > 1 и расходится для h < 1. {
При значениях h > 1 или h < 1 доказательство следует непосредственно из признака сходимости Раабе:
H1+T + (5.45)
H-4DO 1 ' J П-V-ПО I- ""-I
При Ii = 1 признак Раабе нарушается. Однако если возвратиться к признаку Куммера и положить ап = п, 200
1 Ji Л В Л Г». !ШСКОНПЧМЫЁ Ї>ЯДЬІ
то из условия (5.31) получим
Urn { п In п [ 1 + і + ЭД - (Л - И) In («-1 -1)} =
= ііш Г« In п • _ (п -i- 1) In (п + 1)1 = «->00 L п J
= Iim(K-H) Гіпп—1пл —In (1+-)1. (5.46) П.-УОП L V п ' J
Воспользуемся результатами разд. 5.6 (которые получены независимо от признака сходимости Гаусса)
-(1-І+з^ ''' )3 = - 1 < 0 <5-47>
т. е. при Ii = 1 ряд расходится. Приведенное доказательство служит примером успешного применения признака Куммсра в том случае, когда признак Раабе не работает.
Пример 4. Рекуррентная формула, которая помогает найти решение уравнения Лежандра в виде ряда (см. разд. 8.6), записывается в форме отношения
aW 2j(2j + l)-n(n + l) «2 j~ (2/4-1)(2/ + 2) * }
Это эквивалентно отношению u2^2lu2j 11Pli х = 1 • Для / ^ п
«V ^ (2/+1)(2/4-2) J^b11Ii {5 49)
и2т 2/(2/+1) 2/ ' /
Учитывая условие (5.44), замечаем, что ряд расходится. В дальнейшем мы потребуем, чтобы ряд по полиномам Лежандра был конечным при X= 1.
В этом разделе мы изучали сходимость как чисто математическое свойство. На практике же очень часто большое значение имеет скорость сходимости. Мы можем, например, попытаться оценить предел сходимости. Для улучшения сходимости ряда Куммер разработал специальный метод. Если имеется (медленно сходящийся) ряд S и известный ряд 5', то можно записать
S = S' + (S-S'). Смысл этого несложного преобразования состоит в том, 5.2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
201
что после подбора Sf новый ряд {S — 5') может сходиться быстрее заданного ряда S.
OO
Пример 5. Дан ряд 5 • V п~'л. Р.чсгмогрнм
п= і
S--S
сю
1 1
(п—1)п(п+1) 4 '
11=2
Тогда ряд
OO OO СО
S »-'-T+'+S (^-зЬг)=т-2 Щ^ту (5'50)
H=I п= 2 П=2
сходится как П"5, т. е. быстрее, чем заданный ряд, скорость сходимости которого пропорциональна п~3.
Метод Куммера может оказаться очень полезным при численных оценках рядов.
Упражнения
OO
1. Доказать, что при Iim п^ип А < оо, где р> 1, ряд ^ ип
п-+OO ' n== ?
сходится, а при Iim MH71 = Л > О расходится. Этот признак сходимо-
П-кю
сти не действует при Л = 0.
Приведенный признак может оказаться удобным для исследования
сходимости ряда. Привлекая ряд ^ сг° можно рас-
сматривать как сравнительный признак.
2. Исследовать сходимость рядов
оо оо оо ио
S(Inn)-I1 S [»(»I 1)Г1/2, SfiFi' SziTTi-
п=2 п= 1 п= 1 п=О
OO ОЭ OO OO
S 2/1(2/1-1) ' S a (rt+1) ' Sln(1^Tr)' ^ІЛійі'
Ti=I n=i 11=1 п= 2
OO OO
S n.ni/?i' S яг«'
П=1 П=1
1
3, При каких значениях р и q сходится ряд jj пр ^n rejp '
П=2 202 Г Jl А В А 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Ответ:
Г Р> 1 I P = 1,
tp > 1, любые о,
Г р < 1, любые 0, расходится при |
4. Определить область сходимости гипергеометрического ряда Гаусса
F В V гЛ — 1 1- a? у ¦ tt(a-H)?(?+l) ,
F (а, р, 7, = l + щ * + 2!y(Y+l) +
Замечание. Признак сходимости Гаусса был разработан им специально для исследования сходимости этого ряда. Ответ: сходится для 1 — < X < 1 и при X = І, если у > а -f ?.
too
5. Прямое вычисление на счетной машине дает 2 = 1,202007.
n= 1
OO
Показать, что 1,202056 < 2 л-3 < 1,202057. Замечание. Воспользо-
п= 1
пяться интегралами для определения верхней и нижней границ суммы
OO
tj=iol
6. Доказать, что предел
Tl
im Г У. -4--In(Inn)I
->оо L п т Inm 'J
Л->00
т=2
конечен. Выяснить, можно ли приблизительно указать верхнюю и нижнюю границы.
7. Члены ряда Лежандра 2 uj(x) удовлетворяют рекуррент-
і(четн)
ному соотношению Uj+г(*)— j) (/* + 2)— в kotoPom
индекс j пробегает четные значения (в данном случае неотрицательные четные числа не рассматриваются), а п есть некоторая постоянная. Определить область изменения х, в которой этот ряд сходится. Особое внимание обратить на граничные точки этой области. Ответ: — l<x< 1.
8. С помощью признака Коши исследовать сходимость ряда
OO
2 1/(1пя)п.
п=2
со
9. Доказать, что ряд ^ n In м [In Innjr сходится ПРИ
п—3
и расходится при г<1. ft.3. знакопеременные ряды 203
10. Показать, что признак Даламбера представляет собой частный случаи признака Куммера, если в последнем положить = Ha примере двух рядов показать, что признаком Раабе нельзя пользоваться в случае P=L Для этого положить P = I и исследовать расходящийся ряд ип — 1 /и !и л, а также сходящийся ип = I}п (In л)3.
11. Признак Гаусса часто задают в форме отношения
