Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
215
Ряд Маклорена. Если функция разложена в начале координат (а = 0), то ряд (5.87) сводится к ряду Маклорена:
OO
/(*) = /(O) + Xf (O)+^j-T(O) + ... = 2 "ЙГГ(0)' <5'88>
Ti=O
Непосредственное применение ряда Маклорена (или ряда Тейлора) связано с разложением различных трансцендентных функций в бесконечный ряд.
П р'и м е р 1. Пусть f (х) = ех, тогда
/W(O)=I, п= 1,2..........(5.89)
Из уравнения (5.88) получаем известное разложение экспоненциальной функции
OO
71= О
Иногда рядом (5.90) пользуются для определения экспоненты.
Очевидно, этот ряд сходится для любых х, однако необходимо все же проверить остаточный член Rn. Из (5.85) имеем
*л=1г/(П)(5) ssIre6, 0<?<*' (5-91)
поэтому
Rn < хпех/п\ (5.92)
Iim Rn = O (5.93)
п-у OO
для всех конечных значений х, откуда следует, что разложение Маклорена для функции ех справедливо во всей области — оо<х<оо. Пример 2. Пусть / (х) = In (1-|- х). Дифференцируя, получаем
/'(X) = (I-I-X)"1, (х) = (-1Г"Чп-1)! (I + *)"". (5.94)
Разлагаем в ряд Маклорена
п
= 2 (-1)*-1-^+^. (5.95)
P=I 216
'ГЛАВА б. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
В этом случае остаточный член записывается как
Xті
Rn { Пп (5.96)
Jtn
< — , 0<?<*<1. IV
Остаточный член стремится к нулю при /г—>оо для 0 <Jt<l*, поэтому бесконечный ряд
OO
In (14*) = 2 (-1^1-T (5-97)
tl— 1
сходится для — I < X <1 1. Сходимость в области — 1 < х < 1 легко проверяется с помощью признака Даламбера (см. разд. 5.2). Сходимость ряда в точке х- 1 вытекает из теоремы Лейбница (см. разд. 5.3). В частности, при х = 1 мы имеем условно сходящийся знакопеременный гармонический ряд
OO
1п2=1—І4{-... = 2 (-1^lfri- (5-98)
tl= і
Биномиальный ряд. Второе чрезвычайно важное применение разложений Тейлора и Маклорена связано с биномиальным рядом для отрицательных и (или) нецелых степеней.
Пусть f (х) = (1 4 х)т, где т — любое вещественное число, отличное от нуля и от всех натуральных чисел.
Из уравнения (5.88) имеем
(14х)п - 1-I-- Jt2 4 ... 4Rn, (5.99)
где остаточный член
= +!)«-«m(m-l) ... (m-л+І), 0<?<х.
(5.100)
Для п~>т величина (l4l)m-n максимальна при ? — О, поэтому
Xn
Rn<-j^m(m—l)...{m—n-+-\). (5.101)
Заметим, что множители, зависящие от т, не обращаются в нуль, так как т —нецелое отрицательное число; Rn-стремится к нулю при оо для 0<х< 1.
* Эту область легко расширить до — 1 < х ^ 1, точка X-^= —1 исключается. s.6. разложение тейлора
ol?
Таким образом, биномиальный ряд имеет вид
(1 + *г =Umx+ + m(,n-^(m~2)....
(5.102)
Несмотря на то что остаточный член исчезает для 0 ^ х 1, в действительности можно показать, что ряд (5.102) сходится в интервале — 1 <*< 1.
Пример 3. Полная энергия релятивистской частицы равна
Е = тс2 (1 — о2/с2)-1^2. (5.103)
Сравним ее с классическим выражением для кинетической энергии ти 2/2.
Положим в формуле (5.103) х = —v2/c2, а т= —1/2 и воспользуемся биномиальным рядом (5.102), тогда
или
1 3 V2 5 / «2 \2
. (5.105)
Первый член тс2 соответствует энергии массы покоя, тогда
1 Г 3 U2 5 / u2 \2 -і
?кИн=2-т^[і+тж+т(^-) +...J. (5.106)
При V « с выражение # квадратных скобках стремится к единице, откуда следует, что кинетическая часть полной энергии в релятивистском приближении совпадает с классическим выражением для кинетической энергии.
Биномиальное разложение обобщается на случай полиномов
(а1+а2+ ... + от)п = 2 <'а"2 ¦ ¦ ¦ а>-
где суммирование проводится по всем различным комбина-
т
ЦИЯМ Hll п2,...,пт, причем ^ni = Ht где Щ и п— все
г=1
целые числа. Этот ряд широко используется в статистической механике. 218
Г Л)А В А 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ |>ЯДЫ
Если { зависит он нескольких переменных, например f~f(x,y), то разложение Тейлора приобретает вид
F(X, у) = f (a, b)-\(x-a)§ + (y-b)^\-
+ (y-bf^i] + ... (5.107)
В этом выражении все производные взяты в точке (а, Ь), Обозначив (Xjt = Xj-Xj0, можно записать разложение Тейлора для функции т независимых переменных в символической форме:
со m
fm
n=0 i=l
(5.108)
xk=xh0
Упражнения
1. Показать, что разложение Тейлора в окрестности точки 0 = л/2 записывается как sin ^-—-{-0 j —-j-cosO. j; 2. Показать, что при п > 1
!_,„( » )«,„-L-in(u!)>o.
п у п— 1 / п \ п } ^
Воспользоваться этими неравенствами для доказательства ограниченности постоянной Эйлера.
3. Используя биномиальное разложение, сравнить три формулы
эффекта Допплера: a) = —движущийся источник;
б) V' = V ^ 1 ± J — движущийся наблюдатель; B)v'=v^l±-^-j'X X I 1—1 —релятивистская формула.
14 Заметим, что релятивистская формула совпадает с классической, если пренебречь членами порядка V2Jc2. 5.6. РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕЙЛОРА
219
4. Сумма двух скоростей w о релятивистском приближении дается формулой
W Uf С+ Vfc
С 1-І -UV/с2
Разложить. Wfc по степеням а до члена а3, если v/c — ufc-- 1-а, 0<а<1.
5. Смещение X для частицы с массой ПОКОЯ Mq под действием постоянной силы MQg1 действующей вдоль оси X, с учетом релятивистских эффектов равно |[* + (^"с^)2]^ '
