Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
1С IG 6 G
(20.28)
Правые части уравнений (20.28) следует усреднить по времени. При этом движение можно считать невозмущенным, то есть положить SH = 0. Тогда в правых частях уравнений (20.28) величины ЛЛ и А являются постоянными, а зависимость радиуса г и его проекции X на большую полуось от времени описывается формулами
T
г = а (1 — е cos?), х = а( cos? —е), f= — (? — esin?), (20.29)
2 тг
где а - большая полуось, T - период обращения и ? - параметр, при изменении которого на 2тг частица совершает полный оборот. Имеем:
-L - І Г — - 1 Ґ d^ - 1
г3 T J0 г3~ 2тг a3 J0 (1-е CosO2 ~ а3 (1 - е2)3/2 '
/ і 1 [2" Jf CQS^ - е
г5 2тга4 J0 ^(1-ecosO4-
153 e Ax
= а4(!_е2)5/а = QrnM а4 (1 — е2)5/2 ' ^°'3°^
Здесь было учтено, что Ar = GmMe. Координаты выбраны так, что последнее равенство эквивалентно равенству
(u\=_А_
V GmM а4 (1 — е2)5/2
Подставим (20.30) в (20.28) и воспользуемся формулой
M2
mlM (1 — е2) = —— .
cl Cj
После простых вычислений получаем:
"=^(^),/,^-3(^),), "=?¦ (20-31)
Формулы (20.31) показывают, что эллипс, по которому движется частица, прецессирует "как целое" с угловой скоростью ГІ. Рассмотренный эффект был получен в 1918 году (J. Lense, Н. Thirring).
В самое последнее время специалистами из NASA и Европы был проведен эксперимент по проверке формулы Лензе-Тирринга (20.31). Для этого использовались спутники Земли. Наблюдения велись около двух лет. Координаты спутников устанавливались путем измерения запаздывания лазерных сигналов, посланных с Земли, отраженных от спутников и зарегистрированных на Земле. Результаты эксперимента подтверждают формулу (20.31) с точностью ~ 20% (см. [12,13]).
§ 21. Применение общей теории
относительности к космологии
Применение ОТО к космологи» приводит к качественно новым результатам. Это обусловлено тем, что в геометродинамике пространство-время, вообще говоря, не является галилеевым.
154 21.1. Геометрия однородных и изотропных пространств
Будем рассматривать достаточно большие участки пространства, в которых заключены большие количества галактик. При таком подходе можно предположить, что средняя плотность вещества постоянна. Предполагается, что усреднение происходит по указанным большим участкам пространства. Далее предположим, что все свойства пространства изотропны и однородны. Заметим, что мы говорим об изотропии и однородности именно пространства, а не прстран-ства-времени. Это предположение означает, во первых, что мы пользуемся сопутствующей системой координат, в которой скорость материи равна нулю, и, во-вторых, плотность материи постоянна в пространстве. На математическом языке предположение означает, что все геометрические уравнения, записанные в ОНБ, полностью сохраняют свой вид при любом изменении ориентации ОНБ в пространстве и при переходе в другие точки. Пространства с такими свойствами называются однородными. Сделанная гипотеза об однородности и изотропности пространства Вселенной и распределения в ней материи не противоречит современному эксперименту. Однородная и изотропная модель Вселенной в рамках ОТО впервые рассматривалась A.A. Фридманом в 1922 году.
Из сказанного следует, что изучение решения Фридмана следует начать с изучения однородных Римановых пространств с локально-евклидовой метрикой. Последняя задача легче всего формулируется в ОНБ.
Выпишем в ОНБ структурные уравнения Картана (9.28) для случая п-мерного Риманова однородного и изотропного пространства:
Suia + Л о/ = 0 , + ui^ Au1J = КшаАш0 . (21.1)
Здесь Tjal5 = diag(l, ..., 1), и поэтому нет разницы между верхними и нижними индексами: uia = Uia, ui? = wa?- Символ J означает внешнее дифференцирование, К - некая константа. Из вида правых частей уравнений (21.1) вытекает инвариантность уравнений (21.1) относительно любых ортогональных преобразований базиса, что означает изотропию пространства. Независимость параметра К от координат означает однородность пространства. Очевидно, в
155 нашем случае тензор кривизны равен
Ha? 7(7 = К (Sai S?a — Saa J1з7). (21-2)
Прямая проверка показывает, что тензор (21.2) удовлетворяет тождествам Бианки (9.30) и, более того, Ra? ia]p = 0. Поэтому уравнения (21.1) корректны.
Для фактического построения форм смещения и связности, удовлетворяющих уравнениям (21.1), воспользуемся методом, развитым в § 10. Согласно этому методу, следует решить дифференциальные уравнения (см.(10.7))
= Sxa+u%x?, (21.3а)
9^f- = K(xau?-x?ua) (21.36)
для 0 < t < 1 с начальными данными
WctIt=O = O1 ^It=O = O, jU«|t=o = 0. (21.4)
Решения уравнений (21.3) с начальными данными (21.4) в точке t = 1 удовлетворяют уравнениям (21.1). Этот факт доказывается в теории дифференциальной геометрии. Поскольку здесь будут получены явные формулы, то указанный факт может быть проверен в данном случае непосредственно.
Приступим к решению системы уравнений (21.3)-(21.4).
Продифференцируем уравнение (21.36) по параметру t и воспользуемся уравнением (21.3а):
д2
-g^^a? = К [xauj?l - X? ujai) X1 + К (xaSX? - X? Sxa). (21.5) Последнее уравнение умножим на X? и просуммируем:
