Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
д2 / X X я \ Tj^ (ua? X?) = -К x2(wa? X?) - К X2 [Sa?--^2 ) Sx? '
X2 = xaxa. (21.6)
156 Уравнения (21.6) легко решаются относительно неизвестных (uia? X?) с начальными данными (21.4). Однако с этого момента следует делать различие между случаями К > 0 и К < 0.
Рассмотрим сначала случай К = а >0. Имеем
Xt
- 1
SaH —
Vg X?"
Sxe .
(21.7)
Здесь X = vi2. Теперь подставим (21.7) в правую часть уравнения (21.5) и решим его:
WajJ
Xt
1 — cos i — а
~2 {xaSx? - X? Sx0
(21.8)
Подставляя (21.7) в правую часть (21.3а), находим формы смещения:
a . (xt Ula = — sm — х \ а
Vg X?
) bx?
Xa X?
t^r-6xP-
(21.9)
Полагая t = 1, окончательно находим:
sin (-1 (б„я--) Sxp
Kg X?
Sxf-
Ua? = i 1 - cos ( - 1 і л" (x
-x?Sxa). (21.10)
<a/J X' '
Можно проверить путем прямого вычисления, что 1-формы (21.10) удовлетворяют уравнениям (21.1).
Переменная X заключена в пределах 0 < х < 7Га, т.к. формулы (21.10) описывают геометрию сферы Sn, и при х = 0, тта мы попадаем на "северный" или "южный" полюс. Действительно, рассмотрим метрику нашего пространства:
dsz
Cl ( х\^
XaX?\ Xa X?
р2 1 oxaox?-\--~dxadx?.
(21.11)
X*
Метрика (21.11) является естественной метрикой (в нормальных координатах Римана) сферы Sn, индуцированной евклидовой метрикой пространства в которое вложена сфера. Согласно (8.46) элемент объема равен
dV
(а . х\ = ( - sm -\х а/
п-1
(Ta
157 и весь объем конечен.
Теперь рассмотрим нужный нам случай п = 3. При помощи подстановки
ха — а X (sin в cos ф, sin в sin ф, cos Є), 0 < X. 0<it, 0<ф<2ж
(21.12)
метрика (21.11) приводится к виду
ds2 = a2 [rfx2 + sin2 X (Se2 + sin2 вSф2) ] = [Qia)2 . (21.13)
Здесь
W1=CiSx, ш2 = a sin X , w3 = a sin х sin в 6ф. (21.14)
Метрика (21.13) является метрикой сферы S31 записанной в угловых переменных. При помощи уравнения Swa + ua? A W? = О однозначно находятся формы связности шa? (см. §9). Поскольку (ша)2 = (й„)2, то Cia = Oa?W?, где Оa? - ортогональная матрица. Отсюда следует, что
5й>a? + Wa1 A Wj? = OaS O?p {Swgp + Wja A Wap) .
Поэтому формы й>а и Wa? удовлетворяют уравнениям (21.1) с K=OT2.
Элемент объема в новых переменных равен
SV = а3 sin2 X sino Sx Se Зф , (21.15)
а весь объем
V = f SV = 2jt2 а3 . (21.16)
В случае однородных пространств отрицательной кривизны, когда К = —а~2 < 0, проводимые действия и получаемые формулы в точности аналогичны действиям и формулам в случае К > O1 за тем лишь исключением, что в формулах (21.7)-(21.11) делается замена cos (xt/a) ch (xt/a), sin{xt/a) sh (xt/a), и теперь 0 < x < +оо. Для пространства отрицательной кривизны элемент объема равен
dV=(- sh-)"'1 <Гх, Vx а/
158 и весь объем бесконечен. В случае п = 3 по-прежнему мы делаем замену переменных согласно (21.12). В новых переменных метрика пространства имеет вид
ds2 = a2 [Sx2 + Sh2x- (M2 + sin2 О6ф2) ] = (wa)2 ,
0<х<оо, О<0<тг, 0 < ^ < 2тг. (21.17)
Здесь
W1 = CiSx, й2 = a sbXM, W3 = a sh X sin в8ф . (21.18)
Формы Qa и ш„? удовлетворяют уравнениям (21.1) с K = —а~2. Элемент объема равен
SV = a3 Sh2x sinOSxSO 8ф,
и весь объем бесконечен.
Заметим, что при подстановке в (21.13) г = sinx и при подстановке в (21.17) г = shx эти метрики объединяются в одной формуле:
ds2 = а2
В (21.19) ?=1 для метрики (21.13) и ?=—1 для метрики (21.17). В случае, когда к = О, мы имеем плоскую метрику с масштабным фактором а.
21.2. Включение времени и решение Фридмана
Теперь опять займемся изучением однородного пространства положительной кривизны и включим в рассмотрение временную координату, которую обозначим буквой rj. Всегда временную координату можно выбрать так, чтобы полная метрика в пространстве-времени имела вид
ds2 = O1(Tf) {dr)2 - [Jx2 + sin2 X (SO2 + sin20&ф2) ] } . (21.20)
Таким образом, пространство является пространством сферы S3, радиус которой а(т)) зависит от времени.
Sr1 1-іЬ
+ г2 (SO2 +sin2
(21.19)
159 Перепишем эту метрику в виде
ds2 = TlabUlaWb ,
ще TJab = diag(l, -1, -1, -1) и
Ui0 = a(jj) di], Wa=Wa. (21.21)
Теперь оператор внешнего дифференцирования d = drjd/drj + S1 где S есть оператор внешнего дифференцирования относительно переменных (х, О, Ф). Из (21.21) и (21.14) получаем
dui0 = 0 , dwa = Arw0 A wa + Swa. (21.22)
а1
Везде a = da/dij.
Прежде всего найдем форму связности w% при помощи первых уравнений структуры. Прямой проверкой нетрудно убедиться, что формы
= ^we, ыар=йар (21.23)
удовлетворяют этим уравнениям. Действительно, из (21.22) следует, что Awa = 0. Для формы шаа из (21.23) последнее уравнение выполняется. Далее, вследствие (21.22) и (21.23),
dwa + waeAw?+w"Aw° = ^-w°Awa + Swa+uaAw? + A;Wa Aw0 = O. и а2 р а1
При получении последнего равенства использовано первое уравнение структуры (21.1). Поскольку форма связности находится однозначно из первого уравнения структуры, то формулы (21.23) решают поставленную задачу.
Следующая задача - нахождение тензора Римана. Заметим, что вся зависимость форм смещения и связности от времени обусловлена их зависимостью от радиуса а и его производных. Но формы wa? вовсе не зависят от а и его производных. Это видно из первого уравнения структуры (21.1), поскольку формы uia зависят от радиуса линейно и однородно, и поэтому первые из уравнений (21.1) можно сократить на а. Следовательно, формы
