Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
d2x? dxv dxx
dx dx
ds2 vX ds ds v y
Как было указано в § 9, траектория частицы однозначно определяется значением координат rJ1 и скорости dx?/ds при s=0.
11.1. Уравнение распространения безмассовой частицы
Уравнение для распространения безмассовой частицы (луча света) по форме совпадает с уравнением (11.1). Однако по причине, которая ниже объясняется, параметр вдоль геодезической теперь обозначается буквой Л. Представим поле электромагнитной волны в виде / = Для плоской волны в псевдоевклидовом про-
странстве a = const, ф = k?x? , k?k? = 0. В ОТО мы по-прежнему имеем
*„ = W = O- (11.2)
Здесь ф - угловой эйконал, k? - волновой вектор. Второе из уравнений (11.2) говорит о том, что фотон - частица безмассовая. Теперь вместо уравнения dk? = Ob псевдоевклидовом пространстве имеем уравнение (Vkk)11 = 0, которое в подробной записи имеет вид
її- + Г?Л к»кх = 0 , dx?=k?d\. (11.3)
Сіл
Уравнение (11.3) решается совместно со вторым уравнением (11.2). Эти уравнения совместны, поскольку параллельный перенос сохраняет скалярное произведение.
83 Вдоль геодезической (11.2)-(11.3) интервал ds = \Jdx? dx^ = 0. Такие геодезические называются нулевыми или изотропными.
Напомним (см.(9.29)), что символ ds2 зарезервирован для обозначения интервала. Поэтому в уравнениях (11.3) параметр вдоль геодезической обозначается буквой, отличной от s.
11.2. Уравнение движения массивной частицы
Уравнение (11.1) для движения массивной частицы может быть получено из принципа наименьшего действия:
5S = -rnc8 J ds = 0, ds = \Jg?V{x) dx» dx" . (11.4)
Действительно, вычисление вариации в (11.4) дает
SS =-TncgliuUu SxliI +mc J dsSx? j ^"(svO _ Ij ' ¦
(11.5)
Здесь u11 = dx?/ds - 4-скорость. Уравнение движения получается приравниванием нулю выражения в фигурных скобках под интегралом. С учетом того, что
dg ^ _ Bgiiv ^x ds dxx ' фигурная скобка оказывается равной (см.(9.38))
W I (<^ ддЁх_ ддхЛ А _
Поэтому условие SS = 0 эквивалентно уравнению (11.1). Первое слагаемое в правой части уравнения (11.5) показывает, что на истинной траектории движения частицы обобщенный импульс
o S
pH = -Q^I = mcu?. (11.6)
Имеется соотношение дfi^ PllPv = т2с2. Используя первое из равенств (11.6), приходим к уравнению Гамильтона-Якоби:
84 Уравнение Гамильтона-Якоби для безмассовой частицы отличается от уравнения (11-7) лишь устремлением массы к нулю (см. уравнение (11.2)).
11.3. Ньютоновский предел
Рассмотрим случай малых скоростей и малых гравитационных полей. В этом случае g?l/ = r]?l/ + h?u , rj?L, = diag(l, —1, -1,-1) и h?v(x) - малые поправки. Следовательно, компоненты связности имеют порядок h?„. Кроме того, X0 = et, и можно считать, что 1. Поэтому уравнение (11.1) дает
?
X
dt2
= —с
2Г!00 = С2ГІ,оо. (11.8)
Всеми остальными слагаемыми в правой части уравнения (11.8) можно пренебречь, если ? = \ J с —^ 0. Так как компоненты связности малы, то в первом порядке относительно величин h?u имеем P00 = -TjiOO. Согласно (9.38):
г - dg°° , 400- 2 8xi+dx°-
Но в пределе ? —>¦ 0 вторым слагаемым в правой части последнего равенства можно пренебречь, поэтому уравнение (11.8) принимает форму
^2 ~ 2 Bxi ¦ [ '
Как известно, в нерелятивистской механике мы имели бы в правой части уравнения (11.9) выражение —дф/дх1,трр ф(х) - потенциал гравитационного поля. Следовательно, в рассмотренном приближении
400 = 1+?. (11.10)
с
Заметим, что остальные компоненты метрического тензора, вообще говоря, того же порядка, что и goo. Однако информацию о них невозможно получить таким путем, т.к. эти компоненты входят в уравнение движения частицы с дополнительными множителями с-1.
Обратим внимание на то, что в (11.10) потенциал ф берется таким, что он стремится к нулю на бесконечности. Очевидно, что
85 в этом случае и </оо —> 1- Это соответствует естественному предположению, что вдали от тел, создающих гравитацию, метрика может быть выбрана псевдоевклидовой. Вблизи поверхности Земли </оо — \ к, —2 ¦ IO-9. Несмотря на такую близость <?оо к единице, траектории частиц вблизи Земли заметно искривляются, так как в уравнении (11.9) доо умножается на квадрат скорости света.
11.4. Изменение частоты света,
связанное с гравитационным полем
Рассмотрим теперь слабое стационарное гравитационное поле, обращающееся в нуль на бесконечности. Будем считать также, что на бесконечности метрический тензор стремится к псевдоевклидовому Tjliv и координаты x? выбраны глобально. Стационарность поля означает, что все поля не зависят от координаты X0. В описанной ситуации координата X0 может быть взята в качестве мирового времени. Мировое время выбирается неоднозначно, поскольку к х° можно добавить произвольную функцию остальных координат (но не X0 ). В противном случае свойство стационарности метрического тензора было бы нарушено.
В ОТО существует возможность синхронизации часов в бесконечно близких точках р и q (см. начало § 10 и равенство (10.2)). События (х°,х{) и (xa + dx°, Xі + dx'), где dx° = [dx°{1) +dx°(2))/2, естественно считать одновременными. Действительно, середину промежутка времени, за который световой сигнал долетает от точки q до точки р и без задержки возвращается в точку q, следует считать одновременной с моментом времени достижения этим сигналом точки р. Таким образом, разность координаты х° для двух одновременных событий в близких точках равна
