Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
F = dA = d?Av dx? Л dx" = ^ Ftiv dx? Л dx" . (12.2)
Отсюда видно, что величины Ftiu действительно являются компонентами антисимметричного тензорного поля типа (2,0) (см. доказательство Предложения 1 в § 5). Действие (12.1) инвариантно относительно общих (общековариантных) преобразований координат. Поэтому уравнения движения, возникающие из условия SS = 0, где SS - вариация действия (12.1) относительно вариаций переменных S x? и S Ati (х), являются общековариантными.
12.1. Определение тензора энергии-импульса материи
Мы сначала изучим вариацию действия (12.1) относительно вариации метрики Sgtiu(X). По определению,
SeS=-Yc / T^(X)Sgtiv(X) V^gHdiX. (12.3)
Здесь T?" называется тензором энергии-импульса материи.
Чтобы убедиться, что при помощи уравнения (12.3) действительно определяется тензор энергии-импульса, рассмотрим вариацию действия (12.1). Обозначим
dxP /-
К = — , dsn = Jgtiv(Xn) dxg di% . (12.4)
USn »
Без труда находим, что вариация первого слагаемого в (12.1) дает
_ f ии d$n . g.
90 Сравнивая последнее выражение с определением (12.3), находим, что вклад массивных частиц в тензор энергии-импульса равен
Т?{х) = (-д{х))-1!2 Yj ™пс2 [ dsn S^ (х - хп) ¦« . (12.5) п J
Второе слагаемое не зависит от метрического тензора и потому не дает вклада в тензор энергии-импульса. Третье слагаемое в (12.1) дает следующий вклад в тензор энергии-импульса:
T? = -^ (Vа F\ - FxaFxa) . (12.6)
При вычислении (12.6) учтено, что S д = д ¦ д*1" Sgtiv, Мы видим, что величина Ttiv = T^ + T^ в пределе псевдоевклидова пространства (SrAii/ —> diag (1, — 1, — 1, — 1)) действительно переходит в известный тензор энергии-импульса. Поэтому равенства (12.3) следует рассматривать как определение тензора энергии-импульса материи.
Данное определение тензора энергии-импульса материи в точности повторяет определение электрического тока в электродинамике. Для определения тока действие разбивают на два слагаемых, первое из которых SmA описывает движение заряженной материи в электромагнитном поле, а второе Sa является действием чистого электромагнитного поля. В нашем случае SmA дается первыми двумя слагаемыми в (12.1). Электромагнитный ток J?(x) определяется как вариация действия SmA относительно вариации потенциала Atl:
S SmA = j J?(x) SAfl(X) sj-g{x)d4x. (12.7)
В нашем случае
J»(x) = (-g(x))-tJ2e" S dsnS^(x-xn)-u?.
п
12.2. Уравнения движения материи
в случае электромагнитного взаимодействия
Для полноты картины выпишем уравнения движения для частиц и электромагнитного поля в Римановом пространстве. Они получают-
91 ся путем приравнивания нулю вариации действия (12.1) относительно вариаций Sxp и S А» (х) соответственно:
SnS = 0 , JaS = O. (12.8)
Вариация первого слагаемого в (12.1) относительно Sxp была вычислена выше (см. (11.5)-(11.6)). Вариация второго слагаемого в (12.1) относительно Sxp дает вклад в JnS1jPaBHbift
-E т / ds»s<
Fjiu(Xn) ип
Поэтому уравнения движения для частиц во внешнем электромагнитном поле имеют вид
тс +T11xa(X)UxU^ = -cF^(x)uu. (12.9)
Вариация действия (12.1) относительно SAfl дает уравнение (см. (12.7))
7=^(^^) = 4^. (12.10)
Аналогично тому как было установлено, что правые части уравнений (9.39) и (9.40) равны, можно показать, что левая часть уравнения (12.10) равна V„ Поэтому уравнение (12.10) записывается также в виде
\!vFv? = 4тг J? . (12.10')
Вследствие тождества dd = 0 имеем из (12.2) d F = 0, что эквивалентно уравнениям
дхх + дх» Л + дх"
¦^ + ^Г^А +^r FAM = 0. (12.11)
Уравнения (11.10) и (11.11) обобщают однородные и неоднородные уравнения Максвелла на Римановы пространства.
12.3. Закон "сохранения"
тензора энергии-импульса
Имеется важнейшее следствие, вытекающее из инвариантности действия S, описывающего движение материи в гравитационном поле
92 (например, действие (12.1)), относительно общекоординатных преобразований. Чтобы получить это следствие, необходимо проследить за изменением метрики при бесконечно малых преобразованиях координат.
Пусть y? = x? — (х), —> 0. Согласно общим правилам связь компонент метрического тензора в координатах y? и x? дается формулой
Будем проводить все вычисления с точностью до первого порядка относительно Тогда
ду" дх" ду" " дх" '
Поэтому
(дІа дІа 9'кЛу) = 9 А*) + -9^ + 0^-9.
С другой стороны,
эАУ) =ЗАх)- (V 9 ?
Комбинируя последние формулы, находим для величины Sg?i,(x)
= аАх)~зАхУ-
г _ Ca д , ^sr
og^-d дха g?„ + дх„ ¦ g?a + ¦ g*a -
_ д^ Xt7 (dg?a dgva dg^
I/O
+ -І^Г- Ч^ Ua • (12.13)
dx? дх" V dx" dx? dx°
Здесь мы учли, что
to _ по\с I д „ох\ „ _ „¦о\ д „
Теперь учтем формулу (9.38) и перепишем равенство (12.13) в виде
Xn — , 0ГА f
93 или окончательно
SgltU = VflCv+ Vv^. (12.14)
Формула (12.14) дает вариацию метрического тензора в зависимости от вариации локальных координат. Подчеркнем, что величина (12.14) есть разность компонент тензора в координатах y? и x?, взятых соответственно в точках y? + ?¦? и x? (а значит, в разных точках многообразия X, поскольку одна и та же точка пространства X имеет координаты x? или y? ).
