Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
dxo = -^idxi. (11.11)
9 оо
Используя (11.11), можно установить одновременность событий вдоль любого незамкнутого контура. В частности, можно установить одновременность событий в любой точке пространства с событиями на бесконечности, где метрика плоская.
Теперь рассмотрим в одной пространственной точке р два события, разделенные интервалом времени Ax0. Рассмотрим также в
86 другой пространственной точке q два события, соответственно одновременных двум событиям в точке р. Важно, что в стационарном случае два указанных события вблизи точки q разделены тем же интервалом времени Дж°. Это следует из (11.11). Однако истинное или собственное время будет, вообще говоря, различаться. Из (10.13) и (11.10) находим
-И)
Отсюда видно, что собственное время тенет тем медленнее, чем больше абсолютная величина гравитационного поля (поле всегда отрицательно при нашем граничном условии). Если часы побывали в гравитационном поле, то они отстали от таких же часов, которые там не были.
Другое следствие (11.10) - изменение частоты света при переходе из одних областей в другие. Согласно (11.2) частота света, измеренная в мировом времени х°, равна Wo = сдф/дх° . Поскольку уравнение (11.2) для эйконала ф не содержит переменной ж0 явно, то "импульс" Wo сохраняется при распространении луча света. Частота, измеренная в собственном времени, равна
дф дф <9ж° 1/2
Ш = Тг = № 57 = (йоо) Ыо-
Поэтому в слабом поле
w=fi-4)W0=>^ = -4. (ила)
V c2 J w0 C1
Отсюда следует, что частота света возрастает при приближении к создающим поле телам, т.е. в областях, в которых поле возрастает по абсолютной величине.
Этим объясняется смещение частот излучающих на Солнце атомов в красную сторону. Действительно, у поверхности Солнца в собственном времени частота излучения ш\ атома обычная. Но при регистрации на Земле этот же свет, согласно (11.13), будет иметь частоту W2 = (1 + фо/с2) где ф0 - потенциал у поверхности Солнца.
87 Формула (11.13) дает возможность экспериментальной проверки ОТО. Из (11.13) следует, что при распространении света ш (1 + + ф/с2) = const, откуда в свою очередь следует формула
А ы _ А ф
Ul с2
Эффект, описываемый последней формулой, измерялся для Солнца и некоторых других звезд. Например, для Солнца
v) /(v)
/ эксп. / ^ ' теор.
Наблюдения осложнены допплеровским смещением, которое дает сдвиг частоты в три раза больший.
Для белых карликов эффект возрастает в 10-100 раз, так как их радиус во столько же раз меньше радиуса Солнца.
Однако самые точные измерения проведены на Земле (Паунд и Снайдер). Идея опытов состоит в следующем. Излучатель квантов был помещен на башне высотой /г яа 20 м, приемник 7-квантов -внизу так, что смещение было фиолетовым:
Aw a H „ „,с -= = 2 • IO"15.
Ul Cz
Для измерений использовалось мессбауэровское резонансное поглощение на Fe57. Несмотря на чрезвычайную трудность опытов, была достигнута точность:
^^L = 1,00±0,01.
/ЛС^теор.
С середины 70-х годов наступила новая эра для экспериментов по красному смещению. Это связано с развитием стандартов частоты сверхвысокой стабильности порядка Ю-15 -г IO-16 при временах усреднения от 10 до 100 с и более. Благодаря этому удалось зафиксировать разницу в показаниях часов, совершающих длительный полет на самолете на высоте ~ IO4 м с аналогичными часами на поверхности Земли, а также уследить за смещением частоты в зависимости от высоты при запуске водородных мазерных часов на ракете на высоту до 10 000 км. Во всех случаях согласие с предсказаниями ОТО было лучше, чем 1%.
88 11.5. Вариационный принцип нахождения траекторий
В заключение этого параграфа укажем еще одну форму вариационного принципа для нахождения траектории частицы. Рассмотрим вариационную задачу:
Здесь т - некий параметр вдоль мировой линии частицы и е(г) -дополнительная переменная, играющая роль " лагранжевой переменной". В (11.4) независимо варьируются переменные е(г) и х11(т). Условие стационарности действия в (11.14) относительно переменной є (г) дает уравнение:
е(т) = — Vd?v і" І" ¦ (11.15)
mc
Точка сверху означает производную по г. Подстановка (11.15) в (11.14) возвращает нас к вариационной задаче (11.4), чем и устанавливается эквивалентность задач (11.4) и (11.14). Заметим, что вариационный принцип для нахождения траектории частицы в форме (11.14) удобнее, поскольку он допускает изучение безмассовых частиц. Для этого достаточно в (11.14) положить m = 0.
Если в (11.14) переменную т рассматривать как временную переменную, то из (11.14) следует выражение для лагранжиана частицы:
C = -^{e-1g?,x"il/ + e(mc)2}. (11.16)
К лагранжиану (11.16) применим весь формализм аналитической механики. Независимыми переменными в (11.16) являются е(т)
и Xli(T).
§12. Тензор энергии-импульса
Рассмотрим действие для системы заряженных частиц и электромагнитного поля в гравитационном поле:
S = j-mn с J ^gtiv(Xn) dx? dx»n - J A?(xn)dx? j -
89 ~\b~c S ^gxp FtiXFvp^diX. (12.1)
Здесь индекс п нумерует частицы, x? = x?(sn) - мировая линия частицы с номером п и параметром Sn и тп, еп - ее масса и заряд соответственно. 1-форма А(х) = Ati(x)dx? описывает потенциал электромагнитного поля. Величина Fliv = OtiAv- ди Ati является тензором напряженности электромагнитного поля. Определим 2-форму F = dA. Имеем
