Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
dg?y дхЛ
79 можно считать, что часы подчиняются уравнению (10.16) в плоском пространстве. Это означает, что с указанной точностью часы отсчитывают время в метрике Минковского ds2 = с2 dt'2 — (dx)2. Так как в нашем случае dx = 0, a ds является инвариантом, то мы видим справедливость формулы (10.13). Если тело движется по геодезической, то вследствие (10.12) и (10.9) точность уравнения (10.16) повышается до
д2даЬ
Ra1
(10.17)
dxc dxd
Здесь R - кривизна пространства.
Оценим относительное изменение частоты часов под действием возмущения (10.17). Для этого рассмотрим свободно падающие в гравитационном поле атомные часы и оценим изменение частоты п-го уровня. Для простоты рассмотрим водородоподобный атом. Атом рассматривается в нерелятивистском приближении, поскольку релятивистские поправки, вытекающие из специальной теории относительности (или из уравнения Дирака) не имеют отношения к рассматриваемому вопросу. В системе отсчета, в которой ядро покоится, в координатах (10.9) уравнение Шредингера для электрона имеет вид
^ Л
— 2m ^
+ тф)
фп = h(ujn + Swn) Ф,,
(10.18)
Здесь ф - потенциал внешнего гравитационного поля, который следует добавить к кулоновскому потенциалу. Поле ф предполагается стационарным и слабым. В этом случае справедливо соотношение (11.7). При наших предположениях
. , _.. 1 <92<7оо(0) а в доо(х) = ?г0о(0) + - „ . » L ха хр
и вследствие (11-7):
ф(х)
2 dxadx?
,(о)+Iimx^
П ' + 2 dx" dx?
Постоянная величина ф(0) одинаково сдвигает все частоты в уравнении (10.18), и потому ее можно опустить. Таким образом, в уравнении (10.18):
П > 2dx"dx?X Х '
(10.19)
80 Сдвиг частоты Suin в (10.18) стремится к нулю при стремлении к нулю потенциала (10.19).
Обратим внимание на то, что оператор Лапласа в (10.18) имеет свой обычный вид:
<«¦¦»)
а=1 4 '
Это означает, что отклонением пространственной метрики от плоской мы пренебрегаем, в то время как отклонение доо от единицы учитываем. Такой подход оправдывается тем, что из сопоставления формул (11.10) и (18.16) в центрально-симметричном поле имеем
тф(Я) =-(Tnf)^Lt (10.21)
где R - расстояние от гравитирующего центра. Здесь мы имеем дополнительный множитель (тс2). Поправки же к оператору Лапласа вследствие изменения пространственной метрики такого множителя не имеют, и потому ими можно пренебречь.
Сопоставляя (10.21) и (10.19), мы видим, что в качестве тф в (10.18) следует взять величину
777 c^1 v
Jl/ = (Ja/3 - зnan? ) хах? , «а = , (10.22)
которая должна рассматриваться как возмущение гамильтониана водородоподобного атома в центрально-симметричном гравитационном поле на расстоянии R от центра. Далее действуем согласно правилам стационарной теории возмущений.
Очевидно, в (10.22) вместо xax? можно подставить
Coc ? = XaX? - і г2 Sa? , (10.23)
где г2 = (жа)2. Но тензор (10.23) является неприводимым при ортогональных преобразованиях координат. Так как заданный уровень энергии характеризуется лишь оператором углового момента Ia, то среднее от симметричного тензора (10.23) (n\Ca? Iя) пропорционально среднему
2
( п I ( lal? +I?la- o S<*? 1I1I ) I " ) •
81 Поэтому если атом не выстроен, т.е. если ( Tl | lal? | п) = 0, то среднее { п I (a? І ті) = 0 и поправка первого порядка к частоте отсутствует. Поправка второго порядка имеет вид
Sujn =
\{п\6У\т)\2
^ п2 Г"
- V^
, ... iw.
Отсюда имеем оценку
Swn (SV
г,
EnJ V R3En
На краю Солнца R ~ 10псм, гравитационный радиус Солнца 3 • IO5 см, а ~ IO-8 см, En ~ 10 эВ, тс2 ~ IO6 эВ. Поэтому на
я
краю Солнца имеем оценку точности атомных часов:
— -IO"80. (10.24)
ul
Идея вывода оценки (10.24) позаимствована нами у A.B. Беркова и И.Ю. Кобзарева [11].
Заметим, что аналогично тому, как атомные часы измеряют абсолютное время (1 /c)ds, небольшой жесткий стержень может рассматриваться как эталон абсолютной длины в той системе отсчета, в которой он покоится. Действительно, размеры твердого тела (кристалла) определяются законами квантовой механики и значениями мировых констант. Жесткость стержня и его малые размеры нужны для того, чтобы можно было пренебречь гравитационными силами, возникающими вследствие того, что d?dvg\p ф 0. Сказанное означает, что в указанном приближении интеграл от одного конца стержня до другого (см. (10.15))
L = J ^Jnj dx* dxi (10.25)
является постоянным во времени.
§11. Движение частицы
в гравитационном поле
Уравнение движения частицы в гравитационном поле легче всего установить, исходя из принципа эквивалентности. Согласно этому
82 принципу, в указанной выше системе отсчета K0 гравитационное поле отсутствует. Это означает, что в системе Kq в неких координатах ха частица движется равномерно и прямолинейно, что математически выражается уравнением d?xa/ds2 = 0 для подходящего параметра s. С другой стороны, в системе Kq все компоненты связности в точке ха обращаются в нуль согласно (10.12). Поэтому частица движется по геодезической. Последнее утверждение является фактом объективным, не зависящим от системы локальных координат. Таким образом, уравнение движения частицы в гравитационном поле имеет вид (см.(9.5),(9.6))
