Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
2) Динамическая идея
Согласно ОТО, инертная лшсса совпадает с гравитационной Atac-сой. Этот закон называется принципом эквивалентности.
Из принципа эквивалентности следует, что все тела, независимо
73 от их массы, движутся в гравитационном поле в точности одинаково (разумеется, если можно пренебречь размером этих тел по сравнению с неоднородностями гравитационного поля, в котором они движутся). Это означает также, что в малой области мира, где гравитационное поле достаточно однородно, любое поле тяготения может быть уничтожено с помощью преобразования координат. Такая система координат К о может быть мысленно реализована в виде свободно парящего, достаточно малого ящика, на который не действуют никакие внешние силы, кроме силы тяготения, под действием которой он свободно падает.
Математически рассмотрение физических явлений в системе Ко означает выбор таких локальных координат Xat для которых метрика максимально близка к псевдоевклидовой и связность локально (внутри описанного ящика) обращается в нуль. Опишем процесс построения таких координат.
Проведем из точки р, находящейся внутри ящика, геодезические по всем направлениям. Назовем множество таких геодезических связкой геодезических в точке р. Пусть {еа} - некий OHE в точке р. Зададим аффинный параметр s (см.(9.5)-(9.6)) на каждой геодезической и пусть
dxf " ds
(10.1)
Здесь dx?/ds\p - вектор, касательный к некой геодезической в точке р. Очевидно, набор величин {г;"} однозначно задает геодезическую. Введем координаты ха = va s, которые являются координатами точки на геодезической, выходящей из точки р с касательным вектором Vа и отстоящей от точки р на расстояние s. Это значит, что аффинный параметр в точке р считается равным нулю, а в точке ха имеет значение s. В этих координатах уравнение геодезической, проходящей через точку р, имеет вид Xа = vas. Теперь базис {еа} из точки ха = 0 перенесем параллельно в точку ха вдоль геодезической, соединяющей эти две точки, так что ограничение 1-формы V еа на любую геодезическую из связки обращается в ноль. Так как в наших координатах вектор, касательный к геодезической, имеет компоненты dxa/ds = va = xa/s, то в полученном базисе форма связности uiab (х) = uiab (х) dxc удовлетворяет условиям
,ab
(х)хс = 0. (10.2)
74 Введем дополнительный параметр t, 0 < t < 1 и вспомогательные координаты х" = tx". Имеем
dxa = ха dt + tdxa . (10.3)
Теперь в формах связности uiab и смещения ша (см.(9.28)) сделаем замену ха —> ха , dxa —> dxa. Это означает, что вблизи точки р используются также координаты ха, связанные с исходными указанным соотношением. Таким образом, мы имеем гладкое отображение прямого произведения окрестности точки р и отрезка прямой в эту же окрестность и соответствующий этому отображению перенос дифференциальных форм, так что формы (10.4 - 5) являются образами исходных форм. Вследствие (10.2) и (10.3)
ul
аь-uiab, uab|t=o = 0, (10.4)
где uiab являются линейными комбинациями 1-форм dx". Граничное условие (10.4) при t = 0 (т.е. в точке р) является следствием (10.2) и (10.3). Имеем также
uia = ха dt+Gia , Qa |t=o = 0. (10.5)
Форма Qa разлагается по формам dxa, граничное условие (10.5) при 2 = 0 вытекает из (10.3). Слагаемое в (10.5), пропорциональное dt, имеет вид uia(dt) = ebvbsdt, причем eb dxb = dx'1. Заметим, что поля еаь vb не изменяются вдоль геодезических. Это вытекает из уравнений
Tabc(x) vbvc = 0, J1 (eab vb ) - Tdbc vbve ead = 0 .
Здесь ГJJc - символы Кристоффеля в координатах ха. Первое из этих уравнений есть следствие уравнения геодезической (Pxa/ds2 = = 0, второе - следствие (10.2) и тетрадного постулата (8.39). Теперь заметим, что с учетом сказанного и определения (10.1) вдоль каждой геодезической из связки имеем
dx?
еа^ Єь ds
= eabvb.
то есть uia (dt) = ebvbsdt = va sdt = xadt. Таким образом вид первого слагаемого в (10.5) установлен.
75 Вычислим внешние дифференциалы форм (10.4) и (10.5):
Bwab ( f%ja \
dwab = dt Л + Swab , dwa = dt Л -dxa + + Swa . (10.6)
dt ' ' V dt ,
Здесь символ 8 означает внешнее дифференцирование относительно переменных ха. Теперь подставим правые части уравнений (10.6) в структурные уравнения (9.28) с нулевым тензором кручения и выделим члены, пропорциональные dt. В результате приходим к следующим уравнениям:
f)uia ?usa
°— = dx*+ulxb, ^k=R°bcdx<ud. (10.7)
Уравнения (10.7) легко решаются методом итераций относительно параметра t с граничными условиями (10.4) и (10.5). Находим с точностью 0(t3):
wa = tdxa + ^t3 cd xbxc dxd , = ^t2 Rabcdxc dxd . (10.8)
Очевидно, при t = 1 uia = ша , ub = wa. Поэтому имеем:
ds2 = tjab wawb = gab dx" dxb , gab = tjab + і Rac db xc xd ,
coab Rabcd xе dxd. (10.9)
B (10.8) и (10.9) тензор кривизны берется в точке р.
Таким образом, можно так выбрать координаты, что связность обращается в нуль в любой заданной точке 1. Построенные координаты называются нормальными координатами Римана.
Заметим, что участок кривой х° = s, ха = 0 вблизи точки ха = 0 является участком геодезической. Действительно,
