Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
IlU=C = O, (10.10)
и потому уравнение геодезической в точке X = 0 принимает вид
d2xa
ds2
= 0. (10.11)
1 Можно показать, что надлежащим выбором системы координат можно обратить в нуль все коэффициенты Г^ вдоль заданной мировой линии.
76 Кривая х° = s, ха = О удовлетворяет этому уравнению. Сказанное означает, что если материальная точка или тело малых размеров имеют координаты х° = s, ха = 0 и эти координаты являются нормальными координатами Римана, то при х° = 0 тело движется по геодезической. Наоборот, если тело движется по геодезической, то возможно введение таких локальных координат, в которых координаты тела равны х° = s, ха = 0 и
ддаь дхс
(10.12)
х=0
Если Rab cd — 0 в точке р, то вблизи точки р отклонение метрики OT псевдоевклидовой еще меньше. Если же Rab cd — 0 везде, то из уравнения (10.7) следует, что во всем пространстве координаты можно выбрать так, что метрика будет везде псевдоевклидовой, т.е. в этом случае пространство-время псевдоевклидово (если не учитывать его глобальных топологических свойств).
Определим связь истинного времени, которое обозначается буквой г, с координатой Для этого рассмотрим два бесконечно близких события, происходящих в одной и той же точке пространства. Это значит, что dx' = 0. С другой стороны, этот же интервал вычислим в нормальных координатах Римана (10.9), центр которых находится в интересующей нас точке. Разумно считать, что в нормальных координатах Римана интервал равен ds2 = с2 (dr)2 (с -скорость света в пустоте). Так как интервал не зависит от локальных координат, то мы имеем
ds2 = goo (dx0)2 = C2 (dr)2 ,
откуда
dr=^^dx°. (10.13)
Выражение (10.13) определяет изменение собственного времени для данной точки по изменению координаты х°. Из (10.13) видно также, что <7оо > 0. Это условие фактически лишь означает, что координата х° действительно является временной координатой. Если бы условие <7оо > 0 не выполнялось, а метрический тензор был бы по-прежнему локально-псевдоевклидовым, то надлежащим преобразованием координат условие goo > 0 можно было бы восстановить.
77 Выясним, чему равно пространственное расстояние между точкой р с координатами x? и бесконечно близкой к ней точкой q с координатами x? + dx?. Для решения этой задачи удобно считать, что точки ряд разделены нулевым интервалом: ds2 = = g?l, dx? dx? = 0. Решая последнее уравнение относительно величины dx°, находим
dx0 = ± l(_UL + iSipL) dxidxj. (10.14)
к ' 1 900 у ^ 900 J
Очевидно, величина dx — dx ^^ dx^^ является "временем", за которое световой сигнал пролетает от точки q до точки р и обратно. Согласно (10.13) находим соответствующее собственное время, а умножая собственное время на с/2, находим пространственный интервал dl, разделяющий точки р и q:
dl = Jjij dx' dxi , = + (10.15)
v 9 oo
Отсюда видно, что шесть величин Jij могут рассматриваться как компоненты пространственного метрического тензора. Без труда проверяется, что при чисто пространственной замене координат (а;0 = Xі = f'(xj)) величина Jij преобразуется как тензор типа (2,0).
3) Идея общей ковариантности
Согласно этой идее, математическая формулировка теории осуществляется в общековариантной форме, т.е. все уравнения теории являются тензорными (в частности, скалярными, векторными и т.д.).
Отсюда следует, что все уравнения теории имеют одинаковую форму в любых локальных координатах.
Далее мы занимаемся развитием теории на основе сформулированных идей.
78 10.2. О точности измерения времени в теории гравитации
Формула ds2 = с2 dr2, где ds - интервал, a dr - собственное время, требует некоторого комментария ввиду того, что реальные часы имеют конечный размер ~ а. Оценим влияние размеров часов на их точность. При этом мы будем использовать некоторые формулы, которые выводятся в следующих параграфах независимо от результатов этого пункта.
Рассмотрим, например, в качестве часов в плоском пространстве Минковского атомные часы, подчиняющиеся уравнению Шрединге-ра
= (10-16)
где h - постоянная Планка и H- оператор Гамильтона. Пусть фп - собственная функция оператора H с собственным значением h шп. Тогда частное решение уравнения Шредингера имеет вид
фп(і) = фп.
Фактически атомные часы управляются разностями фаз (шт —шп ) t при неких переходах. Эти фазы зависят лишь от мировых постоянных h, с, т, е2, где 77Ї — масса электрона, е2 - константа электромагнитного взаимодействия.
Теперь рассмотрим такие же часы в ОТО, причем они не обязательно движутся по геодезической. ОТО настаивает на общей ковариантности всех уравнений, описывающих движение материи во всех формах. Вместе с тем вблизи любой точки пространства-времени может быть введена такая система локальных координат, в которой метрический тензор близок (а в заданной точке совпадает) к метрическому тензору в пространстве Минковского (см. (10.9)). Пусть такие координаты построены в центре атомных часов. Вследствие принципа общей ковариантности в таких координатах уравнение Шредингера совпадает с уравнением Шредингера в пространстве Минковского с точностью до ддаь/дхс. Если размер часов ~ а, тогда с той точностью, с какой можно пренебречь величиной
