Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
S=-A J d4x^ (R + 2A) + + J -m^j. (30.28)
Здесь {е?} - ортонормированный базис, R = еаєьВі!і и 2-форма кривизны задается согласно (9.286).
Выпишем уравнения движения для системы (30.28). Вариация действия (30.28) относительно связности приводит к следующему уравнению:
V„ el - V, Є- = --fi Sabcd eb?el ^7Y ф = t;v . (30.29)
При выводе последнего уравнения мы использовали равенство
у аЬс + аЬс 7° = -ієаШ 75 7d , (30.30)
а также технику, примененную при получении уравнения (13.25). Абсолютно антисимметричный тензор в (30.30) определен в пункте 24.4. Согласно (9.28а) правая часть уравнения (30.29) является тензором кручения. Мы видим, что включение в теорию дираковского поля приводит к появлению кручения.
402Заметим, что кручение (30.29) обладает следующим свойством:
Т^=е»Т% = 0. (30.31)
Поэтому, несмотря на существование кручения в рассматриваемой теории, в уравнении Дирака тензор кручения не присутствует (см. (22.50)):
[Ie^alaVfl-тп)ф = Q. (30.32)
Вариация действия (30.28) относительно ортонормированного базиса приводит к уравнению Эйнштейна, которое мы записываем в виде
RlIu + Agtiu = hp j і ec^Vv)ip - ф) - ^тффд^].
(30.33)
Здесь выражение в фигурных скобках равно [Tflu —1/2 Т), где Tflu является тензором энергии-импульса на массовой поверхности (т.е. с учетом уравнений движения материи - в нашем случае уравнения Дирака (30.31)).
Уравнения (30.29), (30.30 - 33) вместе с соотношениями g?v = = Vabe^el HeJeJ= Sa образуют полную систему классических уравнений движения и связей для системы (30.28).
Представим поля в виде суммы классических и квантовых составляющих:
9tiv = 9(сі)ці, + hpv , eI= eIci)р.+ f» ¦ (30.34)
Предположим, что фермионное поле не имеет классической составляющей, так что
ф(х)= X (вмф{+Нх) + С],ф{-\х)) + ... , (30.35) \n\<nf
где фермиевские операторы рождения и уничтожения удовлетворяют следующим антикоммутационным соотношениям (как обычно выписываются лишь ненулевые соотношения):
{ Bm , Bjv } = { Cm , Cjv } = SM,N ¦ (30.36)
Полный ортонормированныїї набор фермионных іюд (ж)| естественно определить следующим-образом. Обозначим через E'3^ про-странственноподобную гиперповерхность, определяемую уравнением t = const и через Eg3' - гиперповерхность при t = io. Пусть
403в пространстве-времени метрика задается при помощи тензора д)ш. Эта метрика индуцирует метрику на Eg3), которая в локальных координатах X1, г = 1, 2, 3, представляется метрическим тензором 3^r1-j (см. (24.2)). При помощи уравнений
39ij,k - 7,'а 3gij + 7jfc 39іі , Iij = Iji,
3*у = -Х>?Чв, 3e?34=<W,
а=1
-?? + Tfci 3Ska + 3UJa?i Ц = 0 , 3UJa?i = -3U>?ai
определяются на Eg3' связность (без кручения) в локальных координатах 7jfc и спиновая связность 3<jJa?i- Для дираковского одночастичного гамильтониана имеем
liv = -i Ч of (di + і Zu?li \ [a", а* ]) + т 7° ,
а^3 = 7° V. Легко проверить, что в метрике
{Фм,Фм) = [ ^ху/^Цф^фн (30.37)
Js^
оператор 'Hv является самосопряженным. Поэтому решение задачи на собственные значения на Eg3'
= ?N> 0 (30.38)
имеет полный набор ортонормированных мод в метрике (30.37). Везде верхний индекс (0) означает, что в соответствующей величине поля берутся в нулевом приближении относительно квантовых флук-туаций.
Заметим, что между положительно- и отрицательночастотными модами может быть установлено взаимно однозначное соответствие при помощи равенства 7°7® ф^ = ф^ ¦
Обратим внимание на то, что скалярное произведение
ІФм,Фм)= [ d3x л/-д(°) фм (30.39)
404не всегда совпадает со скалярным произведением (30.37). Согласно (24.47) эти скалярные произведения совпадают, если функция хода N = 1, что имеет место, например, для метрики д= 0, = 1. Скалярное произведение (30.39) имеет то преимущество перед скалярным произведением (30.37), что если моды {ф$\х) } удовлетворяют уравнению Дирака в нулевом приближении относительно квантовых флуктуаций (что согласно нижеизложенному действительно имеет место), то скалярное произведение (30.39) сохраняется с течением времени (см. пункт 22.2).
Поле h^v в (30.34) разлагается следующим образом:
h?v = Ip X ^n ^an + hN ^An) +
\N\<No
+ lp{ E (hNiN2 ?l/ANlAN2 + h*NiN2 ^A^1Ah2 +
\NI\,\N2\<N0
?U aN1 aN2)+ ( Bk BNi +
IAT1MAT2KATf
+ Cjfl CN2 + /.??. bN1 Ck + hNiX^ Cn2 BNl)} + ....
(30.40)
B (30.34 - 35) и (30.40) с-числовые коэффициентные поля фffl , g(ci) fif j h-N и т.д. разлагаются по степеням планковского масштаба, например,
9(d) = 9$ + Ip 9(ы) + • ¦ • • Вследствие вещественности поля (30.40) имеем
hNiN2 /її/ = hN2N1 ци , hNijN2 /її/ = hN2\Ni fiv >
nN2 N1 /II/ — N1 N2 /II/ > nN2 Ni /II/ — nNi N2 /«/• (_ou.ii;
Операторы {AN, Ajv } удовлетворяют бозевским коммутационным соотношениям (30.31). О способе выбора набора функций {/ілт/и/} будет сказано ниже.
Согласно схеме динамического квантования мы должны подставить поля (30.34-35) и (30.40) в уравнения (30.29) и (30.32-33), после
405чего нормально упорядочить операторы { j4jv , ^jv } и приравнять нулю все коэффициенты при различных степенях этих операторов и планковского масштаба.