Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
v( + )
пф О
P+
dz . = — Я-
Z
(П9)
383 Обратные матрицы к матрицам (ПЗ) и (П4) проще всего представляются в виде
= (П11)
2яї
Для доказательства равенств M M-1 = MM = 1, F.M fM^1 = = fM ~1 f^M = 1 используются тождества
+ OO
' г
xTzj f{Z> U(Z)) = 2^?^/(zi'u(zi)) X>" U
+co
' w
П" '
M1
s = 0,l,... (П12)
В (П12) функция f(z, и) разлагается в ряды Лорана по своим аргументам, и интеграл идет против часовой стрелки. Тождества (П12) основаны на очевидных равенствах
dz „ [ du „ л . . — zn = ф —ип= 2iri Sn. Cz Jc- и
Вследствие (П6) и (П12) с 5 = 0 имеем
+СО 1 /* J 1 Г J +со
^Ti = 55 і ^«Г"-Sjf0 T^S.(т)' =
(П13)
I=-со 1 I=-со
1 / dux
2жі Jc. W1
В (П13) подразумевается, что и = u(z) и Z1 = Z(M1). Таким образом, равенство M M~l = 1 установлено. Аналогично устанавливаются соотношения M-lM = 1, fMfM-1 = 1, F.M~1F.M = 1.
Непосредственно из формул (ПЗ) и (П10) вытекает соотношение
lM~j = пМ-1-п , (П14)
384 справедливое при всех I и п. Из (П4), (П9) и (П11) получаем также:
FM~) = FM.l,.n. (П14')
Ненулевые коммутаторы am ^ и am' с u(z) и u(z) находятся при помощи (П2) и (2.12):
[a^\u(z)] = -—zmu(z), тф О, [а^Ц.)] = --^/"^). P+ P+
(П15)
Для величин с чертой соотношения (П15) также имеют место. Из определений (ПЗ) и (П4) при помощи (П15) следует, что
2 п
[ ат \ A4n,l] =--Mn,l-m ,
P+
l«{m\FMnJ] = --±- і -z-^u»(2n(q)^ + m(q)-^),
2т р+ Jc Z
тф О,
[ai~\ Mn,,] =-—Мп,1, [a[-\FMn,i] = - — FMn,i. (П16) P+ P+
Коммутационные соотношения (П16) сохраняют свой вид, если везде в (П16) подставить величины с чертой. Соотношения (П16) исчерпывают все ненулевые коммутаторы между величинами а(~\
М, М, FM, fM,.
Теперь при помощи (П14) и (П16) получаем
2 п
[а{т\М~\] = — 7И_г,_(т+п), тф О, P+
М~\] = ^-M.li.n = J--M-1,. (П17)
P+ P+
B пункте 3 используются следующие формулы:
? M~m\l+q M-yq = M^+n)t {l+p) , (П18а
E я (м-]1+я M-1^q - M~j+q M-]p_q ) =
385 = (m - n) M-([+p),-(m+n) , (П186)
E {М/+я Мп!р-я - M-^q M-^q ) = я
= (т-п)(р- l)M-(i+p),-(m+n)- (П18с)
Например, при помощи формул (П10) и (П12) с s = 1 получаем
+оо . . ,
E du-и-Р Zn-(и''Z-). (П19)
q= — оо ^
Так как нас интересует лишь антисимметричная по индексам т и п часть (П18), то в правой части (П18) можно вынести из-под знака дифференцирования. Учитывая также, что (dz/du) du = dz, получаем формулу (П18Ь). Остальные формулы (П18) доказываются аналогично.
Укажем также следующие формулы:
+oo 1 +oo
X Мт\.М?_т,г = — X a<n+-mMm]r+s, (П20)
m= —оо т— — оо
E 1{F-Mn1-,,/Mr:q -fM-L1,/ Mil) =
I
= (2-ІЙ ? (mi)
При выводе (П20) и (П21) используются соотношения (П9), (П10) и (П12).
§ 30. Новый динамический метод квантования гравитации
30.1. Введение
В настоящем параграфе мы изложим идеологию и логическую схему недавно возникшего нового метода квантования общековариант-ных теорий, который называется динамическим методом квантования [23, 57, 65]. Методология, разработанная в S 29 при квантовании
386 двумерной гравитации, естественным образом развивается в метод динамического квантования любых общековариантных теорий.
Ключевым моментом при квантовании двумерной гравитации было построение полного набора таких операторов {Ап,Вп,...} (29.64 - 65), обозначаемых далее {An, ^jvh которые обладают следующими свойствами:
1) Операторы An и Ajv взаимно эрмитовски сопряжены и
[An, Am} = О, [AN, А]м] = Snm¦ (30.1)
2) Множество операторов {An,A^n} описывает все физические динамические степени свободы системы.
3) Каждый оператор из множества {yljv,^4jv} коммутирует со всеми связями первого рода или с полным гамильтонианом теории.
Квантование проводится непосредственно при помощи операторов {An, ^jv }• Это означает, что пространство физических состояний строится при помощи операторов {Tljv } из основного состояния и все операторы выражаются через операторы {An, ^jv), а также через операторы, описывающие калибровочные степени свободы.
В рамках динамического метода квантование также проводится по описанной схеме. Однако если в теории двумерной гравитации операторы {Ajv, Ajv) строились явно (т.е. явно выражались через исходные динамические переменные), то в более реалистичных теориях эта задача едва ли может быть решена. Поэтому набор операторов {An, Ajv) со свойствами 1) - 3) приходится вводить аксиоматически. Наоборот, свойства 1) - 3) позволяют в принципе выразить исходные переменные через удобные операторы {An, A^n}.
Однако, в отличие от двумерной теории гравитации, в реальных моделях гравитации необходима регуляризация. В методе динамического квантования регуляризация осуществляется именно в терминах операторов {A/v, ^jv). Как будет далее показано, такая регуляризация является естественной в общековариантных теориях, так как она сохраняет форму уравнений Гейзенберга, а тем самым и общую ковариантность теории.
30.2. Метод динамического квантования
Рассмотрим некую общековариантную теорию поля. Будем предполагать, что в этой теории в классическом пределе гамильтониан
