Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
h(x) = ?(А„ф„(х) + А^ф*м(х)) + ф\{\х), (30.27)
n
которое является первым членом разложения поля (30.8) по операторам {An, Ajv, ап, а^ }. В теории гравитации роль поля (30.27) играет поле hp» в (27.101). Согласно (27.118) поле Hfiu является бо-зонным тензорным безмассовым полем в искривлённом пространстве-времени и его кинетическая энергия имеет обычную для бозонных полей структуру, являясь дифференциальным оператором второго порядка. Поэтому процедура квантования, приводящая к разложению поля (30.27) по модам {фьг(х), ф]\п}, в размерностном смысле
399 идентична процедуре квантования в теории скалярного поля. Как известно, в теории безмассового скалярного поля в пространстве Минковского для мод справедлива формула (см.(26.81)) фъ.(х) ~ ~ |k|—1^2 ехр(гкх). Так как здесь кривизна пространства-времени не играет роли, то отсюда видно, что суммы (30.25) имеют вид интегралов (30.26).
Согласно (27.54) все интегралы (30.26), а тем самым суммы (30.25), равны нулю при Dy 2, т.е. во всех теориях гравитации в пространстве-времени размерности больше двух.
Полученный результат означает, что во всех теориях гравитации, кроме двумерных, все операторы в„ и ej в уравнении (30.24) ещё до их нормального упорядочения могут быть заменены числами zn и z* соответственно, после чего операция усреднения в (30.24) может быть опущена. В двумерных общековариантных теориях необходимы более непосредственные вычисления при работе с калибровочными степенями свободы. К счастью это возможно (см. § 29) ввиду кинематической простоты двумерных теорий.
Подчеркнём, что возникающие при упорядочении операторов A^ и Aln в уравнении (30.24) суммы вида
Y Фм{х)ф*м{х)
\n\<n0
отбросить нельзя, так как эти суммы являются регуляризованными. Физически измеримые величины включают в себя указанные регу-ляризованные суммы, дающие квантовые поправки. Эти квантовые поправки возникают как результат нормального упорядочения операторов, описывающих физические степени свободы. В книге [55] именно таким путём Дираком были вычислены вклад в аномальный магнитный момент электрона и лэмбовский сдвиг уровней электрона в атоме водорода.
Коэффициентные функции материальных полей (например, фм{%) в (30.9)) также зависят от калибровочных степеней свободы { ап, at }. Последние под знаком среднего в (30.24) могут быть заменены числами { zn, z* }. Обоснование такой замены и возникающее при этом ограничение размерности пространства-времени остаются прежними.
Теперь мы можем существенно дополнить нашу систему аксиом следующим предположением: в аксиомах 3-5 используется поле (30.23), т.е. квантованное поле, усреднённое относительно ка-
400 либровочных степеней свободы. Поля ф(с')(ж), ФN(ж) и т.д.
удовлетворяют неким уравнениям, которые однозначно получаются из лагранжевых уравнений движения, если в них подставить разложение поля Ф(з-) в виде (30.23) и затем, после нормального упорядочения операторов { An, A1n }, приравнять нулю коэффициенты при различных степенях образующих алгебры Гейзенберга { An, A1n }. При этом в результате указанного нормального упорядочения возникает связь высших коэффициентных функций с низшими коэффициентными функциями в разложении (30.23). Мы получаем бесконечную цепочку уравнений для коэффициентных функ-ций{ФИ (х),фм(х),фм(х),...}.
Последнее предположение может быть введено при помощи следующей аксиомы, заменяющей аксиому 5.
Аксиома 5'. Уравнения движения для квантованных полей (23) с точностью до упорядочения квантованных полей совпадают по форме с соответствующими классическими уравнениями движения.
Замечание. Согласно аксиоме 5' динамика калибровочных степеней свободы в реальной теории гравитации всегда квазиклассична. На интуитивном уровне это предположение может быть оправдано тем, что у калибровочных степеней свободы отсутствует потенциал, их динамика подобна динамике свободной частицы. Легко увидеть, что последняя с ростом времени становится классической. Действительно, пусть X и р - гейзенберговы операторы координаты и импульса свободной нерелятивистской частицы массы т. Тогда
, Р0 4
P = Po, X = X0 H--г,
т
где t - время, а жо и р0 - постоянные операторы, удовлетворяющие коммутационному соотношению [жо, ро ] = ih. Очевидно, что если (р0) ф 0, то при t —> оо
<*>Ы >00i
<[*.р]>
что и означает квазиклассичность динамики свободной частицы. Сказанное представляется справедливым для движения в некомпактных
401 калибровочных группах, каковой является группа общих преобразований координат. Напротив, при движении по компактным группам (как калибровочная группа в теории Янга-Миллса) отказ от кван-товомеханического описания невозможен.
Система аксиом 3, 4 и 5' даёт определение квантованного варианта заданной общековариантной теории.
Ещё раз отметим, что проблема упорядочения операторных полей в уравнениях движения при столь общем рассмотрении не решается.
30.4. Динамическое квантование гравитации
Теперь применим разработанную схему квантования к теории гравитации.
Рассмотрим теорию гравитации с Л-членом, которая взаимодействует минимальным образом с дираковским полем. Действие такой теории имеет вид (см. (13.32) и (22.46)):
