Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
OwW=O , O^lj(Z) = O1 ... (30.14)
Теперь предположим, что имеет место ослабленная версия коммутационных соотношений (30.46'). В этом случае полный гамильтониан %т содержит операторы Ajv и An. Если в (30.13) в качестве оператора О взять полный гамильтониан, то соответствующие коэффициентные операторы в этом разложении обозначаются через Ti^, П(т±1}, и т.д.
393 Легко понять, что из слабых равенств (30.46'), коммутационных соотношений (30.1) и аксиомы 1 вытекает серия следующих равенств:
74^10) = 0,74^10) = 0,... (30.15)
Пусть = ^ZjAj 4>j, где <f>j ~ полный набор связей первого рода. Тогда согласно (30.15) множество операторов {4>j°\ • • •} можно рассматривать как набор связей первого рода, действующих на пространстве функционалов, зависящих лишь от калибровочных степеней свободы. При этом набор связей является полным
в том смысле, что выполнение всех равенств ф^ | ) = 0 означает, что состояние I ) не зависит от калибровочных степеней свободы. Действительно, если мы устраним все физические степени свободы, описываемые переменными -(Xjv, An}, то полный гамильтониан сведется к оператору Ti^ = K0T0PbI® обращается в нуль
лишь на функционалах, не зависящих от калибровочных степеней свободы. Отсюда следует, что высшие связи ф\±1} и т.д. не являются независимыми, то есть
ф^ = 0 (mod 40)), ... (30.16)
Поэтому все высшие уравнения в (30.15) являются следствиями первого уравнения.
Теперь установим, что в случае версии (30.46') теорема справедлива в классическом пределе. Действительно, из определения и сказанного выше следует, что при наложении связей второго рода (30.10) имеем:
[фі, Фі\* = [фі, ФА + Aij .
Здесь оператор Ajj квадратичен относительно связей ф^P и т.д. и, следовательно, не менее чем квадратичен относительно операторов ф^м. Поэтому величина Aij в последнем равенстве может быть опущена, так как вообще скобки Пуассона и Дирака двух связей вычисляются лишь с линейной точностью относительно связей. Очевидно также, что при наложении связей (30.10) уравнения движения в классическом пределе сохраняют прежний вид с линейной точностью относительно имеющихся связей. Это означает, что уравнения движения не изменяются.
При переходе к квантовой механике алгебра операторов связи сохраняется с точностью до возможных квантовых аномалий. В
394 применяемом здесь аксиоматическом подходе постулируется отсутствие квантовых аномалий в уже регуляризованной теории. Разумеется, наличие или отсутствие квантовых аномалий должно устанавливаться путем детальных вычислений в конкретных моделях. Заметим, что в теории гравитации теряет силу общий вывод о существовании в релятивистской квантовой теории поля швингеровского члена в коммутаторах компонент тензора энергии-импульса. Действительно, существование швингеровских членов в коммутаторах времени-временной и пространственно-временных компонент тензора энергии-импульса является следствием положительности оператора Гамильтона в обычной релятивистской квантовой теории поля. Последнее свойство отсутствует в теории гравитации, поскольку в данном случае гамильтониан слабо равен нулю.
30.3. Аксиоматический подход
Теперь изложим более аксиоматизированную схему динамического квантования. Эта схема, являясь, быть может, менее естественной, обладает большей логической стройностью и упрощает вычисления.
Основой такого подхода является
Предположение. Теория регуляризована таким образом, что выполнены следующие аксиомы.
Аксиома 3. Все состояния теории, имеющие физический смысл, получаются из основного состояния | 0) при помощи операторов рождения Ajv с |Лг|<Аго:
InbJV1;...;^, JV,) = («і! ¦...•«,!)-' -Hv1P - ...-KO^IO) ,
AN I 0 > = 0 . (30.17)
Состояния (30.17) образуют ортонормированный базис пространства F' физических состояний теории.
Аксиома 4. Динамические переменные Ф(ж) переводят состояние (30.17) с фиксированными значениями чисел (п\, Ar1; ...; ns, Ns) в суперпозиции состояний теории вида (30.17), содержащие все состояния, у которых одно из чисел заполнения отличается по модулю на единицу, а остальные совпадают с числами заполнения
395 состояния (30.17).
Аксиома 5. Уравнения движения и связей для физических полей {Ф(ж) ,V(x)} с точностью до расстановки операторов совпадают по форме с соответствующими классическими уравнениями и связями.
Аксиомы 3 и 4 являются аналогами аксиом 1 и 2 в нерегуляризо-ванной теории. Аксиома 5 заменяет собой теорему из пункта (30.2). Она постулирует правильный вид уравнений движения и связей в согласии с классической механикой. Поскольку теперь уравнения движения выводить более не нужно, то ненужным становится и гамильтониан.
Обратим внимание на то, что уравнения Гейзенберга полностью являются уравнениями типа (30.14), в то время как уравнения связей (30.4) распадаются на две серии:
Уравнения (30.186) следует рассматривать как тождества.
В случае версии (30.46') вместо последних уравнений мы имеем серию соотношений (30.15).
Таким образом, при формальном подходе задача сводится к следующему. Выбираются конечный набор линейно независимых функций {фм{х)}' и соответствующий им набор пар операторов {Адг, Адг}', с их помощью согласно (30.8) составляется квантовое регуляризованное поле Ф(ж). Затем квантовое регуляризованное поле подставляется в уравнения движения Гейзенберга и уравнения связей, которые решаются в соответствии с (30.14) и (30.18) или (30.15). В результате таких вычислений должно быть найдено явное выражение для поля ф(х) в (30.8) как нормально упорядоченного ряда относительно образующих алгебры Гейзенберга { An, A1n }. Физическое состояние задаётся разложением по базису (30.17) и по отношению к этому состоянию вычисляются всевозможные средние.
