Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
a^ I (3°-79)
Смысл горизонта событий заключается в том, что две точки на разделенные расстоянием, превышающем Rc, не могут обмениваться никакими сигналами в течение всего последующего времени.
При помощи (30.39) и (30.59) легко получается также следующая оценка для фермионных мод
\фм I ~ H3I2(ChHt)-zI2. (30.80)
Прежде чем приступить к оценке роли квантовых флуктуаций, сделаем предположение, что
IpH <« 1, Kin-VIp, (30.81)
где Xn > AmJn ~ минимальная длина волны рассматриваемых мод в эпоху, близкую к моменту наблюдения и v - некое безразмерное число.
Воспользуемся известной формулой
[{{9ij - 9(ci]ij)2{x)){(gki -%o«)V))]1/2 > \ KM2O, 9кі(х')}) I
(30.82)
в наинизшем приближении 3. Усреднение в (30.82) предполагается относительно состояния, близкого к основному. В этом случае неравенство в (30.82) близко к насыщению, и оценка для левой части получается путем оценки правой части этого неравенства. При помощи (30.29) в наинизшем приближении для квантовых флуктуаций получаем
[gij(x), 9ki{x')] = ll Yl IhNijix) h*Nkl{x') - h*Ni j (x)hNkl(x') ].
|лг|<лг0
(30.83)
3Здесь флуктуации калибровочных степеней не учитываются, так как их динамика предполагается классической (см. Замечание после Аксиомы 5').
416 Для оценки правой части в (30.83) эта сумма должна быть разбита на два слагаемых.
Первое слагаемое учитывает инфракрасные моды (индекс г) с длинами волн
H"1 < AjVi < Я-1 ch Ht , (30.84)
а второе слагаемое - ультрафиолетовые моды (индекс и) с длинами волн
VIpKXnuKH-1. (30.85)
Пусть числа инфракрасных и ультрафиолетовых мод имеют порядки, соответственно Ni и Nu, причем Arj- + Nu = No = const. Тогда сумма в правой части (30.83) представляется в виде суммы двух слагаемых. имеющих порядки
Si(і) ~ Ni I2p I hNij |2 ~ Ni{lp H)2 chHt, (30.86)
Eu(t) ~ Nu I2p I hNij \l ~ (N0-Ni) ( і'112 )и I2p H3 (ch Ht)2. (30.87)
Здесь мы воспользовались оценками (30.73) и (30.79). Так как 9$ 9$ ~ q4J то физический смысл имеют величины (30.86 - 87), отнесенные к четвертой степени масштабного фактора a(t). Учтем также, что число инфракрасных мод растет со временем, так что (см. (30.84))
Ni „ Z^"1 \ „ (ch н (30 88)
V Алг і min /
Таким образом, находим
?Н<) = ^|р(/рЯ)2, (30.89)
K(t) = ^ll ~ (No - ch3Ht) е~1/212P H3 (ch Ht)-2 . (30.90)
В последней формуле также было учтено, что (є^1^2 )и ~ S0 1^2, где Cq - максимальное собственное значение мод h^ij (см. (30.67)).
Полученные оценки приводят к следующему качественному выводу: в модели инфлирующей Вселенной значение квантовых флук-туаций экспоненциально падает при возрастании времени. Наоборот, при приближении к моменту рождения Вселенной роль квантовых флуктуаций становится определяющей.
417 Действительно, согласно современным представлениям, на де Сит-теровской стадии
IpH KT4IO-12). (30.91)
Поэтому инфракрасный вклад в квантовые флуктуации пренебрежимо мал на всех стадиях инфляции. Вклад ультрафиолетовых квантовых флуктуаций согласно (30.90) экспоненциально быстро затухает с ростом времени, и наоборот.
30.6. Приложение
С учетом равенств (30.61) уравнение (30.46) принимает вид (индекс N, нумерующий моды, здесь опускается):
-vi0) л V + 2 Я2 hi - V) = о - (П1)
Пусть ^fl - векторное поле, удовлетворяющее уравнениям
А'0, = A0fl+ V<0)?, +V^o = O (П2)
во всем пространстве-времени.
При помощи уравнения (30.48) и (П2) получаем
V(°) (Vf) е + І Aj) = -(V^ - 3 HiHo ¦ (ПЗ)
Подставим в (П1) с ^ = ^ = 0 выражение для Aq из уравнения (П2) и используем равенство
v(0) V(0) X v(o) ^ = V(0) v(0) v(0) Л ^ +
+ 2 Я2 g<$ V(°) Чл - 2 Я2 V<°> ?,-3 Я2 V<°> , (П4) справедливое для любого векторного поля ^fl. В результате получим
v(0) [ (v(0) v(0) л _ з я2к0 ] = _2 Н2 (v(0) {< + 1 лі} _ (П5)
Наконец в уравнении (П1) с /х = 0 и ^ = і подставим Ао,- согласно уравнению (П2) и еще раз воспользуемся (П4):
v(0) [ (v(0) v(0) л _ з я2} j = _ v(0) [ (v(0) v(0) л _ з я2^о j (п6)
418 Теперь из (ПЗ), (П5) и (П6) видно, что если
(Vf V^a-ЗЯ2)^ = О, (П7)
Vj0^i+ ^ Aj = О (П8)
на некой пространственноподобной гиперповерхности Eg3), то равенства (П7) и (П8) имеют место во всем пространстве-времени. Этого можно достичь при соответствующем выборе векторного поля , Действительно, при помощи сдвига ^fl —*?ц + <Рц, где поле Ifiр не зависит от X0, можно добиться выполнения уравнения (П2) при всех X0 и уравнения (П7) на гиперповерхности E^3). Далее при помощи уравнений (30.61), (П1), (П2), (П4) и (П7) можно получить соотношение
(Vf -2Я2) (V^e+ ^) = 0, (з)
справедливое на Eg. Отсюда следует справедливость (П8) на ги-перповерхности Eg
Рассмотрим преобразованное поле
^ = V + Vf^ + (П9)
Если поле Iilll, удовлетворяет уравнениям (П1) и (30.48), то вследствие (П7) поле h'?u также удовлетворяет этим уравнениям. Кроме того, согласно (П2) и (П8)
h'0fl = 0 , Af = 0 . (П10)
Таким образом, совместность уравнений (30.63 - 64) установлена.
419 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Постников М.М. Гладкие многообразия. — M.: Наука, 1987.
