Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
387 является произвольной линейной комбинацией связей первого рода, а связи второго рода отсутствуют.
Обозначим через , полный набор фундаменталь-
ных полей теории и их канонически сопряженных импульсов, через которые выражаются все прочие физические величины и поля теории. Здесь индекс (г) нумерует сорт поля. Например, при некоторых (г) это могут быть 6 пространственных компонент метрического тензора gij(x), либо скалярное поле ф(х), либо дираковское поле ф(х) и т.д. Набор полей {ф(!'(л;)} является полным набором взаимно коммутирующих фундаментальных полей теории.
Далее для упрощения записи индекс (г) не выписывается. Можно считать, что переменная х включает в себя, кроме координат пространства, также и индекс (г).
Построение квантовой теории при помощи динамического метода основывается на следующих естественных предположениях или аксиомах относительно структуры нерегуляризованного пространства F физических состояний теории.
Аксиома 1. Все состояния теории, имеющие физический смысл, получаются из основного состояния | 0} при помощи операторов рождения Ajv:
I щ, N1;...; n„ ATs) = (щ! •... • щ\)"* • (Л^)"' •... • (A^f' | 0) ,
Am J 0) — 0 . (30.2)
Состояния (30.2) образуют ортонормированный базис пространства F физических состояний теории.
Числа п\, ..., Tis принимают натуральные значения и называются числами заполнения.
Аксиома 2. Множество состояний Ф(ж) | пх, Ni; ...; Tis, Ns), где набор чисел (тії, Ni; ¦¦ ns,Ns) фиксирован, содержит суперпозицию всех состояний теории, у которых одно из чисел заполнения отличается по модулю на единицу, а остальные совпадают с числами заполнения состояния (30.2).
Здесь операторы A^n и их сопряженные An обладают обычными коммутационными свойствами (30.1). Среди операторов {А^, Ajv)
388 содержатся, вообще говоря, как бозевские, так и фермиевские. Если операторы рождения и уничтожения имеют статистику Ферми, то в (30.1) подразумевается антикоммутатор. Для интересующего нас случая компактных пространств без ограничения общности можно считать, что индекс N, нумерующий операторы рождения и уничтожения, принадлежит дискретной конечномерной решетке. В пространстве индексов N легко вводится норма.
Так как состояния (30.2) физические, то они удовлетворяют соотношениям (23.35):
7?т Im1^i;...; n„ JV.) = о, (30.3)
то Hf - полный гамильтониан теории. Уравнения (30.3) вытекают из совокупности следующих уравнений:
(30.4а)
[Ят,4г] = 0, [%t,an] = 0. (30.46)
Наоборот, из уравнений (30.3) вытекают уравнения (30.4а), a также ослабленный вариант уравнений (30.46):
[«т,А),]Й0, [ht,an]* 0. (30.46')
Далее мы увидим, что обе версии, (30.46) и (30.46'), приводят к одинаковому результату. Поэтому основная линия изложения в пунктах 2 и 3 базируется на упрощенной версии (30.46). При этом параллельно вносятся в некоторые выводы поправки, возникающие в результате перехода к более сложной версии (30.46'). Начиная с пункта 4, разница между этими двумя версиями полностью исчезает.
Обратим внимание на то, что КС (30.46) являются следствием общей ковариантности теории. В других теориях может не существовать набора операторов со свойствами (30.46), исчерпывающего физические степени свободы системы.
Следует заметить, что обе введенные аксиомы могут быть несколько изменены в зависимости от свойств рассматриваемой динамической системы. Здесь приведен простейший вариант формулировки аксиом метода динамического квантования. В конечном счёте важным является лишь требование выполнения следующих предположений:
7?т|0) = 0,
389 а) Существует набор операторов {Ащ, Ajv), исчерпывающих физические степени свободы системы и удовлетворяющих КС (30.46) или ослабленному варианту КС:
[Пт, A1n] = XnA1n. (30.5)
б) Матрица, составленная из элементов [Am, A^n], [Am, An] и [A1m, ^jv], является обратимой.
В отличие от рассматриваемой здесь ситуации (30.2 - 4) в примере, изученном в § 29, мы имели ограничение на числа заполнения вида (29.90). Отсутствие каких бы то ни было ограничений на числа заполнения физически означает, что в теории отсутствует явление "невылетания". (Под "невылетанием" в физической науке подразумевают такую ситуацию, когда некоторые сорта частиц слабо взаимодействуют на малых расстояниях, но не могут существовать как отдельные стационарные частицы с конечной энергией). Таким образом, аксиомы 1-2 вместе с соотношениями (30.1 - 4) относятся к системам, в которых кванты фундаментальных полей могут существовать как стабильные частицы. Напротив, если имеют место соотношения (30.5), то для выполнения равенств (30.3) необходимо следующее ограничение на числа заполнения (ср. с (29.90)):
У^ Пдг Ajv = О .
n
Далее предполагаются справедливыми аксиомы 1-2 и равенства (30.4).
Приведем некоторые следствия из аксиом 1 и 2.
Пусть I N) = A1n I 0). Из аксиомы 2 вытекает, что
Ф(х)\Ы) = ф„(х)\0)+\ЪФ{х)),
(0|ЛГ; Ф(ж)} = 0 , (30.6)
и линейно независимые поля фм(х) не зависят от операторов Am или A1m:
[Фм(х),Ам] = 0, [фм{х),А1м] = 0. (30.7)
