Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Коротко воспроизведем рассуждения, приведенные в работе [58]. Обозначим через {a, Xn } полный набор коммутирующих переменных, где а - масштабный фактор (30.59), a xn - степени свободы неоднородных мод. В однопетлевом приближении (что соответствует учету лишь "одночастичных" мод gNij, Фы ) волновая функция имеет вид
xN } = Ф0(а) JJ fN(a, xN).
\n\<n0
Здесь Фо(я) " волновая функция минисуперпространственной модели (см. § 28). Согласно Хартлу и Хокингу для малых а
fN(a, xN) = /n4xn) ,
где /n\xn) - волновая функция основного состояния соответствующей степени свободы при малых а. По определению матрица плотности (58) получается при помощи следующего интеграла:
ріаі а') — Фо(") Фо(а') ' JJ / dxN fN(a,xN) f*N(a',xn). (*)
|лг|<лг„ J
Оценим интеграл (*) при помощи оценок однократных интегралов
Pn(a, a') = J dxN fN(a,xN) f*N{a ,xN),
которые равны единице при малых а, а', но быстро уменьшаются по модулю при растущих а, а', оставаясь равными единице лишь при а = а'. Поэтому при растущих а и а' ф а
Д pn (а, а') -»• 0, No —^ оо . \n\<n0
Таким образом, мы приходим к формуле (30.58). В проведенном рассуждении было важно, что хотя Nq и велико, но конечно.
412Тенерь покажем, как проблема декогерентности может быть решена в рамках метода динамического квантования.
Как известно, пространственно-однородное решение уравнения (30.42) имеет вид (ср. с (28.27-30))
a(t) =ch Ht, H2 = і Л . (30.59)
о
Здесь gij - положительно-определенная метрика на сфере радиуса H"1 в каких-либо координатах и положено х° = t. Далее волна сверху обозначает соответствующую величину на сфере Sj^1 • Решение (30.59) описывает Вселенную в стадии инфляции. Выпишем ненулевые компоненты связности:
rg)0 = aafc, T^i = U', Г<°>' = Г$к. (30.60)
Для компонент тензоров Римана и Риччи отсюда имеем
д(о) __я2(0(°) (0) (0) (OK n?u\p — п \9?\ У и р У цр У 1/л I'
= (30.61)
Выпишем также формулу
~y{0) = a6(t)g, (30.62)
следующую из (30.59).
Из общих соображений, основанных на калибровочной инвариантности теории, следует, что в каждой точке пространства (или для каждой "частоты") остается лишь две независимых степени свободы поля Iillu (30.40). В приложении показано, что при помощи калибровочных преобразований можно добиться того, что
hNо, = 0, Zijvi = O, Vf ^,. = 0. (30.63)
В этом случае и с учетом (30.61) уравнение (30.46) принимает вид
(v(0) v(0)a + 2H2)hN ij = 0 . (30.64)
413Последнее уравнение при помощи (30.59 - 60) переписывается как
hNij- -J— Vfc Vfc hNij + Cll Jii
+ 3 H(th H) Vo hNij + 2 #2(1 + th2 H t)hNij = 0, (V^)nAjvij = a2 (JL) (a~2hNij), n= 1,2, .... (30.65)
Заметим, что оператор Vfc Vk сохраняет инвариантным подпространство векторных полей {/ідгij }, подчиненных условиям (30.63). Это означает, что имеют место равенства
Qij V* Vfc hN ij = 0 , Vj V* Vfc hjN ,. = 0,
если поле hpfij удовлетворяет условиям (30.63). Кроме того, оператор Vfc Vfc является самосопряженным в метрике
j dVgik~gilhMklhNij, (30.66)
~ ІЗ1)
где dV есть элемент объема на сфере S11L1 ¦ Поэтому выберем в качестве набора функций {hNij }' ортонормированный в метрике (30.66) набор собственных функций оператора (-Vfc Vk) с ограниченными собственными значениями:
-Vk Vk hNij = ?n hNij , ?n < єо ¦ (30.67)
Поля hNij в (30.67) удовлетворяют условиям (30.63). Пусть
En » (Я ch Ж)2. (30.68)
Тогда при помощи уравнения (30.65) получаем оценку
ViLhNij ~ V^N (ch Ht)~lhNij. (30.69)
Так как согласно (30.59) ~ a~4hNij, то при помощи (30.62), (30.69) и (30.52) получаем
^ Н~3(сЪ H t)-2\hNij\2 ~1,
414Ip Ihjvij I ~ f~1/4Ip tf3/2 ch Ht. (30.70) В противоположном случае
?n < (Я ch Ft )2 (30.71) при помощи (30.65) получаем
V^Ajvy ~ H \hNij I. (30.72) Отсюда, как и выше, находим оценку
Ip I hNij I ~ Zp ff VdiH t. (30.73)
Из сравнения оценок (30.70) и (30.73) видно, что при значении времени H ch H itjv ~ єN происходит смена режима временной эволюции соответствующей моды. Эта смена режима происходит вследствие того, что при t < tjv длина волны моды hNij меньше так называемого горизонта событий, а при / > tpj -наоборот.
Действительно, расстояния на сфере S^L1, обозначаемые Г, и на гиперповерхности E^3' (сечений пространства де Ситтера с метрикой (30.59) при фиксированном времени і), обозначаемые l(t), согласно (30.59) связаны соотношением
l{t) = (chff t)I. (30.74)
Поэтому длина волны моды hNij имеет порядок
Xn ~ (chff<)?^1/2. (30.75)
Отсюда видно, что (30.68) соответствует
Aw «ff"1, (30.76)
а (30.71) соответствует
Xn »ff"1. (30.77)
По определению, расстояние l(t) между двумя точками Х\ и X2 на меньше горизонта событий Rc, если сигнал света, ис-
пущенный в точке Xi, когда-либо в будущем достигнет точки Х2-Согласно (30.59) при распространении света dt = a(t) dl, и потому
Ґ2 dt'
'¦" = /, «гг (30™>
415где І2 - момент времени достижения сигналом точки х'2 и / -расстояние на S^l1 между Xi и ж2. Сопоставляя (30.78) с (30.74) и устремляя І2 к бесконечности, находим