Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Если Ф{х) - вещественное поле, то из аксиом и формул (30.6) следует справедливость разложения
Ф(х) = фк(х) + A1n ф*„(х)) + ф(х), (30.8)
n
390 где поле ф[х) не содержит операторов An и Ajv- в первой степени. В случае комплексного Дираковского поля ф разложение (30.8) приобретает вид
ф[х) =YaN Wx) +*(*)> (30-9)
n
где {Ajv, A^n } - фермионные операторы. Если фермионный конденсат отсутствует, то фермионное поле х(х) имеет зависимость от фермионных операторов {Av, Ajv } не ниже чем кубичную.
Поскольку операторы {Адг, Ajv) - сохраняющиеся, то вся динамика полей Ф(ж) {ф{х)) заключена в переменных и ф(х) (фN{x), х{х)).
Предыдущие построения позволяют рассмотреть регуляризацию теории. До сих пор наше изложение было формальным, поскольку сингулярности теории во внимание не принимались.
Важность КС (30.1) и (30.46) заключается в том, что любой набор пар операторов {Адг, Ajv)" может рассматриваться как набор связей второго рода. Это дает возможность проведения регуляризации следующим образом.
Выделим конечный набор пар операторов уничтожения и рождения {An, Alf}' и занумеруем их таким образом, что ( < No. Поскольку физическая информация содержится в волновых функциях фії{х), то фактически этот выбор определяется выбором набора линейно независимых волновых функций {ф^(х)}', соответствующего набору операторов {An, Ajv)'- Выбор функций в наборе {</>^(ж)}' определяется физическими условиями задачи. Например, если х-пространство является тором, то в качестве волновых функций этого набора в заданный момент времени могут быть взяты периодические бегущие волны, волновые числа которых ограничены по модулю. Все операторы рождения и уничтожения, кроме выбранных, т.е. операторы с I N | > No, полагаем равными нулю:
An = O, Ajv=O, I Ar j > ArO • (30.10)
Докажем важную для нашего метода теорему, придающую смысл всей схеме динамического квантования.
Теорема. В случае выполнения условий (30.46) наложение связей второго рода (30.10) не изменяет формы уравнений Гейзенберга,
391 сохраняя их классический вид.
Доказательство. Пусть \M'),\N'), ... обозначают базисные векторы (30.2), построенные при помощи ограниченного набора операторов {An, Ajv}', и F' обозначает фоковское пространство с этими базисными векторами. Наложение связей (30.10) означает, что пространство физических состояний F ограничивается до регу-ляризованного подпространства F' С F. Для любого оператора А в регуляризованной теории рассматриваются лишь матричные элементы вида (M.' I А I Я' )¦ Поэтому соответствующие связям (30.10) матричные элементы квантовой скобки Дирака операторов А и В представляются в виде (звёздочка сверху обозначает скобку Дирака)
{M'\[A,BT\M,) = Yj((M'\A\C'){C'\B\N')-с
-(M'lBlC^iC'lAlM')). (30.11)
По определению квантовой скобки Дирака операторы An и Ajv с I N I > Nq, содержащиеся в операторах А и В из (30.11), полагаются равными нулю после их нормального упорядочения. Коммутатор [А, В ] формально отличается от скобки Дирака (30.11) тем, что при вычислении матричных элементов {М.' | [А, В]\Я') по формуле, аналогичной (30.11), суммирование идет по всем промежуточным состояниям (30.2). Допустим, что оператор В диагонален в базисе (30.2) и не зависит от операторов Адг и Ajv с j N \ > No- Тогда из (30.11) видно, что
(M' I [А, В]* \ Я') ={М'\[А,В]\Я'). (30.12)
Теперь остается заметить, что все операторы чисел заполнения = = Ajv Ajv коммутируют с полным гамильтонианом. Более того, вследствие коммутационных соотношений (30.46) гамильтониан не зависит от операторов Адг, Ajv. Поэтому в (30.12) вместо оператора В можно подставить гамильтониан %т- Это означает справедливость теоремы.
Имеется также классический вариант приведенной теоремы.
Наложение связей (30.10) полностью сохраняет вид уравнений движения, что выражается равенством [?, Их] = [?, Ит}*¦
392 Последнее утверждение немедленно следует из формул (30.46) и (23.31).
Следствие. Регуляризованная теория является общековариант-ной.
Действительно, это непосредственно вытекает из доказанной теоремы. Уравнения движения, которым подчиняются поля Ф(ж) в ре-гуляризованной теории, совпадают по форме с классическими уравнениями движения, являющимися общековариантными. Тем самым следствие доказано.
Поскольку в регуляризованной теории может быть оставлено в принципе любое число физических степеней свободы, то по этому числу может быть развита теория возмущений.
Подчеркнём, что скобка Дирака [?, \]* двух произвольных операторов ? и Xj вообще говоря, отличается от коммутатора [?, х] как в классическом, так и в квантовом случаях.
Следует обратить внимание на следующее обстоятельство.
Пусть операторное поле 0(х\ An, A1n ) является нормально упорядоченным рядом относительно образующих алгебры Гейзенберга {An, Ajv):
0(х; An, Ajv) = + ^ [O^ И An + O^(X)A1n] + ...
(30.13)
Здесь операторные поля ,0^1\х) и т.д. не зависят от обра-
зующих алгебры Гейзенберга { An, Ajv }. Тогда равенство
0(х; An, AjJ=O равносильно системе равенств
