Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
ip = ------= egrad - • I = grad - • dp, (18.29)
|r I I f — 11 r r
где вектор
dp = el (18.30)
называется поляризационным моментом. Введём также соотношением
dp = PdV (18.31)
вектор поляризации Р. Тогда потенциал диполей, распределённых по объёму V с границей Е, равен
200
Лекция 18
ip =
P • grad - dV =
r
v
V
Pr
dv =
PiUi
dL-
Г div P
dV. (18.32)
у
Если объём V бесконечен, по нему распределены истинные заряды 0 с плотностью ре и диполи, а на бесконечности и те и другие отсутствуют. Если же существуют одновременно и истинные заряды и поляризационные моменты, то потенциал имеет следующий вид:
Pe(О - divP(І)
ip =
¦щ,
(18.33)
V
где г — расстояние (18.8) между ? и текущей точкой г. Функция Lp (18.30) является решением уравнения Пуассона
Ap = —Атг(ре — divP). (18.34)
Примем во внимание связь (18.22) E с р и вместо первого равенства (18.28) из (18.34) придём к выражениям
— для плотности истинных зарядов
Pe = 4~div (Е + 4ігР),
— для плотности свободных зарядов
' E^
Au
р = div
= ре — div P
(18.35)
(18.36)
(18.37)
—для плотности поляризационных зарядов
—ре + P= —div Р.
В диэлектриках благодаря воздействию поля электрической напряжённости E происходит ориентация диполей, т. е. поляризация. Если диэлектрик изотропный, то вектор поляризации P коллинеарен вектору электрической напряжённости Е. Тогда
1) Под истинными зарядами понимаются все заряды, которые под действием электрического поля могут перемещаться на большие расстояния. Заряды, входящие в состав нейтральных молекул и колеблющиеся вблизи положений равновесия этих молекул, носят название связанных. Совокупность истинных и связанных зарядов называют свободными зарядами.
Основы электромагнито динамики
201
вводится так называемый вектор электрической индукции D:
D = Ё + AttP = нЁ, (18.38)
Р=^-—'-?, (18.39)
Att
где к — диэлектрическая проницаемость среды.
Если среда электрически анизотропна, то определяющие соотношения (18.38) следует записать в более общем виде
D = х- Ё, (18.40)
где к — симметричный тензор диэлектрической проницаемости. Тогда вместо (18.39) получаем
Р=^(к-1)-Ё. (18.41)
В вакууме электрическое поле изотропно (Р = 0) и, следовательно, K= 1.
С помощью понятия поляризации (непосредственно ненаблюдаемой) объясняются изменения электрического поля, возникающие при внесении незаряженного диэлектрика в данное электрическое поле.
Проводник электричества — это тело, для которого в статических условиях потенциал Lp постоянен, т. е. E = 0, ре = 0. Проводники могут нести только поверхностные заряды, следовательно, статически ведут себя как тела с бесконечно большой диэлектрической проницаемостью к. Поляризационные заряды на проводниках называются индуцированными зарядами. Их можно считать истинными зарядами.
Итак, задача электростатики заключается в отыскании векторных полей EnD при заданных по форме и положению в пространстве проводниках и изоляторах. При этом
div 3 = Аттре, D = яЁ, rot?? = 0. (18.42)
Как полную аналогию электростатики построим теперь магнитостатику. Для этого вместо электрического заряда е введём магнитный заряд гае, т. е. везде сделаем замену е —> те. Вместо векторов электрической напряжённости Е, поляризации P и электрической индукции D введём в рассмотрение векторы магнитной напряжённости Н, намагниченности M и магнитной индукции В соответственно, т. е. E —> Н, P^ М, D^B.
202
Лекция 18
Вместо диэлектрической проницаемости я (тензора диэлектрической проницаемости я) будем рассматривать магнитную проницаемость /і (тензор магнитной проницаемости //), т. е.
Я —Ї /І, Я —Ї /І.
Однако следует сразу отметить несколько различий между величинами магнитостатики и аналогичными им величинами электростатики.
1) He существует никакой истинной плотности магнитных зарядов. Поэтому уравнения магнитостатики, в отличие от (18.42), приобретут вид
div Б = 0, B = jiH (В = ?-Н), rot# = 0, (18.43)
причём
В = Й + AttM . (18.44)
2) Для некоторых веществ, например ферромагнетиков, магнитная проницаемость /і не является постоянной величиной и может сложным образом зависеть от магнитной индукции H (случай гистерезиса). Поэтому намагниченность M может быть отличной от нуля и в отсутствие магнитной напряжённости H. Это происходит, например, в постоянных магнитах.
3) He существует никаких проводников магнетизма, а также магнитных аналогий диэлектриков и изоляторов. Однако некоторые вещества в силу своей большой магнитной проницаемости ведут себя как магнитные проводники (например, мягкое железо).
4) Поле магнитной индукции В, как следует из (18.43), соленоидально, что говорит о существовании векторного потенциала Ф:
B = rot (18.45)
Из теоремы Гельмгольца следует, что
Att
(18.46)
V
или, согласно (18.43) и (18.44),
f rot M(І)
Ф =
dV?. (18.47)
v
Основы электромагнито динамики
203
Для магнитного поля не существует других зарядов, кроме свободных, и
