Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
тР. =
47Г
div HdV = -J-
Att
div (В - 4тгМ) dV =
V
V
div M dV = —
M-ndL. (18.48)
у
Соотношением (18.48) формально вводится магнитный заряд.
Заметим, что взаимодействие электрического и магнитного полей в статике отсутствует. Действительно, величины, входящие в группы соотношений (18.42), (18.38), с одной стороны, и (18.43), (18.44) — с другой, взаимно “не пересекаются”. Отличие математической структуры этих групп соотношений состоит лишь в том, что плотность магнитных зарядов положена равной нулю.
Уже говорилось о том, что в случае электростатического равновесия заряды проводников сосредоточиваются в тонком поверхностном слое. Если в какой-либо точке внутри проводника напряжённость электрического поля E отлична от нуля, то в проводнике возникает электрический ток, т. е. движение зарядов. При этом силой тока I называется количество электричества, протекающее через сечение проводника в единицу времени:
де
dt
' дре dt
dV.
(18.49)
у
Если за любые равные промежутки времени через поперечные сечения проводника проходят одинаковые заряды, ток называется постоянным (по величине и направлению) и обозначается Iq. Согласно закону сохранения заряда (18.19)
I = -
div (pev) dV = —
pev • ndYi.
(18.50)
у
С силой тока I тесно связан вектор плотности силы тока j, но определяется он различными способами в зависимости от причины, вызывающей ток.
1) Ток называют конвективным в случае переноса заряда плотности ре со скоростью у. Тогда
J = -PeV, (18.51)
204
Лекция 18
и из (18.50) имеем
I =
j-ndY. (18.52)
2) Ток проводимости возникает в случае движения заряда в проводнике под силовым воздействием электрического ПОЛЯ Е. Тогда плотность тока определяется так называемым дифференциальным законом Ома
j = сгЁ, (18.53)
где коэффициент а называется проводимостью среды.
3) Из-за изменения со временем векторного поля магнитной индукции D возникает так называемый ток смещения с плотностью
Тогда, пользуясь первым из соотношений электростатики (18.42), запишем
дб\ д (б\ дре dlv^ d,Y^arj = тЩ=Ж- <18'55>
Полный ток j складывается из составляющих, рассмотренных
в (18.51), (18.53), (18.54), причём ток проводимости может быть одновременно и конвективным.
Если ток стационарен, то
с} о —> —> —>
div j = -^- = 0, j = jn, j = IjI =J-U = jn, (18.56)
а длина j вектора j постоянна. Тогда из (18.56) следует
I =
j • ndY =
JdZ = JYh (18.57)
т. е. вдоль проводника I является постоянной величиной. Отсюда
jn = IJl = (18.58)
Предположим, что некоторый тонкий криволинейный проводник длины I с поперечным сечением S соединяет две точ-
Основы электромагнито динамики
205
ки 1 и 2 сплошной среды (рис. 54). Значения электрического потенциала Lp в этих точках обозначим и В силу определения Lp (18.22), а также равенства (18.52) можно записать
2 2 2
(?2
-Ip2 =
Ej dxj =
Ё • ds =
^ds = J-L
а
Рис. 54
(18.59)
В цепочке (18.59) использовано скалярное следствие дифференциального закона Ома (18.53) j = оЕ • ds. Поэтому (18.59) часто называют интегральным законом Ома или просто законом Ома:
S = IR, (18.60)
где R = //(Scr) — сопротивление проводника, ? = -(^p2 — \) —
так называемая электродвижущая сила.
Сформулируем далее закон Ампера, согласно которому сила тока I в замкнутом проводнике L пропорциональна циркуляции Г магнитной напряжённости Н\
Att
T= — /, T = i>H-ds,
(18.61)
где с = 3 • IO8 м/с — скорость света. Проводник L фактически является вихревой линией вектора магнитной напряжённости. Обозначим rot H = ф и воспользуемся формулой (18.13), выведенной в начале лекции, для выражения H через ф:
Att
ф х г ?
Г? = Г-?, Г?=|г?|.
У
Так как ф dV = ф dY ds = ф dY ds и J ф dY = Г, то
н = 1-
Att
фdY
о
ds х г А Г Att
()
ds х г$.
(18.62)
(18.63)
Соотношение (18.63), связывающее Я и Г, называется законом Био-Савара.
206
Лекция 18
Подставляя в (18.63) закон Ампера (18.61) получим формулу Эрстеда
H = -cb
с
или, в приращениях,
dH =
dl
-о
(18.64)
(18.65)
Согласно (18.52) заменим в (18.65) dl на j-ndS и, далее: dl ds = j - п dV, dl ds = j dV,
~ J X г g
сг°
(18.66)
у
Применим теперь к обеим частям второго равенства (18.66) оператор rot по переменным Х{ и преобразуем полученное под интегралом двойное векторное произведение по известной формуле векторного анализа 1)
V х (? х = J (-^ • ^rad ^) + Srad ^ • Л =
= -Ja - = Anj 8{г — ?).
Следовательно,
-» -» 47Г
rot H = ф = — с
j 8(r-OdVi = ^.
(18.67)
У
1) Заметим, что в этой формуле двойного векторного произведения
V X (а х Ъ) = Ъ • Grad а — а • Grad Ъ учтено, что оператор V применяется только к радиусу-вектору г.
ЛЕКЦИЯ 19 УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Из предыдущей лекции ясно, что по заданному полю ф = = rot H (18.67) можно восстановить поле магнитной напряжённости H:
H = rot Ф, Ф = —— Att
г с
J
dV,
(19.1)
V
