Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
- рсрТIn - PijT(Sij - aijfi), (15.85)
1O
выразим из (15.72) перепад температуры
d =^(ps-PijSij) (15.86)
рСу
и подставим в обобщённый закон Гука (15.58):
T
Vij = CijHSkI - Pij — (ps - PkiSki)- (15.87)
PCv
12 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
178
Лекция 15
Из сравнения (15.58) и (15.87) находим значения адиабатических модулей:
С$,-<Ьш + ?-№>- 05-88)
[JCv
Можно поступить и по-другому. При постоянной плотности энтропии из (15.86) имеем
ti = — PijSij + const. (15.89)
PCv
Тогда из (15.64), учитывая малость величин aijti (пренебрегаем членами с их квадратами), получим
ро — pf — 2 Cijki?ij?ki — CijkiOtijSkiti const =
1 T
— о Cijkl^ijZkl + fikl^kl----ь const =
2 pcv
= \ ctjki?ij?ki + const- (15.90)
Таким образом, при адиабатическом процессе упругий потенциал Wajx совпадает со значением ре, так что
ре = pcpT + W*A. (15.91)
ЛЕКЦИЯ 16 ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Рассмотрим в пространстве M3 систему из N материальных точек с массами та, a = I,..., N, движение которых описывается радиусами-векторами
ra(t) = х3а_2к\ + х3а_{к2 + х3ак3. (16.1)
Скорости частиц равны
Va(t)=ra. (16.2)
Вся система, очевидно, имеет 3N степеней свободы, так что можно выбрать обобщённые координаты q:
Q = (16.3)
задание которых полностью характеризует положение всех точек в любой момент t, и построить набор обобщённых скоростей q:
Q' = (16.4)
Компоненты радиусов-векторов хк связаны с обобщёнными координатами qi с помощью невырожденного преобразования
Xk = Xk(qi), i,k = I,..., SN. (16.5)
Кинетическая энергия К системы точек имеет следующий вид 0 :
I N j 3N
К =TtH II2 = 2 S mKk) Ш2 =
a= I k=1
I дхк дхк . . Iw^.. паал
m^) = 9 bi^q) qiqr (16-6)
^dqidq3
'k- I
т =
+1,
О Для сокращения записи в этой и следующей лекциях (в отличие от других) суммирование по повторяющимся два раза малым латинским индексам производится не от 1 до 3, а от 1 до 3N.
12=
180
Лекция 16
и представляет собой положительно определённую квадратичную форму, построенную на обобщённых скоростях, с коэффициентами bij, зависящими от обобщённых координат. Потенциальная энергия U системы зависит от обобщённых координат и, вообще говоря, времени:
U(q,t) = U{qi,q2,...,q3N,t). (16.7)
Введём в рассмотрение функцию Лагранжа L:
L(q,q,t)=K(q,q)-U(q,t), (16.8)
зависящую явно от времени, а также от обобщённых переменных и обобщённых скоростей; 6N переменных {q,q'} называются лагранжевыми переменными.
Из аналитической динамики известно, что для консервативных систем имеют место 3N обыкновенных дифференциальных уравнений
JKS-S="
относительно переменных qi, называемые уравнениями Лагранжа второго рода.
Наряду с лагранжевым формализмом используется и гамильтонов формализм. Для этого соотношениями
dL_
Oqi
вводится набор р обобщённых импульсов Pi и с помощью преобразования Лежандра
H(q,p,t) = q'iPi - L(q,q,t). (16.11)
определяется функция Гамильтона Н. Она может явно зависеть от времени и 6N гамильтоновых переменных {q,p}. Следовательно, её дифференциал записывается в виде
1ТТ OH1 дн7 эн .
dH =—dqi +—dpi +—dt. (16.12)
С другой стороны, из (16.10) и (16.11) следует, что BL1 дЬ , . дЬ
Л W п
Pi = P= {Pl(t)’P2(t),...,p3N(t)}, (16.10)
Элементы статистической механики
181
Приравняем в правых частях (16.12) и (16.13) коэффициенты при независимых 6N + 1 дифференциалах dqi, dpi и dt:
= %>
дН _ _dL_ дН
dqi dqi ’ dp,
и выразим из (16.9), (16.10) OLfdqi:
аL
dq,
дН
dt
8L dt ’
= Pi-
(16.14)
(16.15)
Таким образом, из (16.14), (16.15) получим систему 6N канонических уравнений Гамильтона:
Яг =
дН
dpi ’
Pi = -
дН
dqi'
(16.16)
Так же как и уравнения Лагранжа (16.9), уравнения (16.16) являются обыкновенными относительно 6N гамильтоновых переменных {q,p}. Для решения системы (16.16) необходимо задать начальные условия
t = Q: qi =
Pi =P0i-
Тогда решениями будут наборы q и р:
q = q(q°,p°,t), р = p(q° ,p0 ,t).
(16.17)
(16.18)
Если существуют такие функции ga(q,P,t), что вдоль решений (16.18) уравнений Гамильтона
ga(q,p,t) = Ca = const,
(16.19)
то ga называются первыми интегралами уравнений (16.16). Если размерность g совпадает с размерностью энергии, то первый интеграл (16.19) называется интегралом энергии.
Гамильтоновы переменные, не входящие в число аргументов функции H, называются циклическими. Если т — число циклических переменных (га ^ 6N), то сразу можно написать га первых интегралов. Действительно, пусть, например, переменные q\ и р2 циклические, т. е. dHjdq\ = 0 и ЭН/др2 = 0. Ho тогда из уравнений (16.16) следует, что р\ = 0 и q2 = 0. Поэтому функции g\(q,p, t) = pi и g2(q,P,t) = ^2 являются первыми интегралами.
182
Лекция 16
Разделим обе части соотношения (16.12) на dt и воспользуемся уравнениями (16.16):
йя _ ая . ая . эн _
dt dqi dpi Ot
_аяая_аяая ая_ая
dqi dpi dpi dqi ^ dt dt
т. e., если H не зависит явно от времени (такие системы называются склерономными), то и dH/dt = 0, что говорит о существовании интеграла энергии
