Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
H = К + U = h = const, (16.21)
где h — полная энергия системы.
Для описания движения системы N точек в M3 можно ввести фазовое пространство Г размерности 6 N. Точка (q,p) Є Г в этом пространстве соответствует некоторому состоянию системы. В этом фиксированном состоянии система описывается обобщёнными координатами q\, q2,..., q3N и обобщёнными импульсами pi,p2, • • • ,рш. Траектория в фазовом пространстве Г означает движение системы с параметрами qi (t), q2 (t),..., q3N (t); р\ (t) ,p2(t),..., p3N (t). Начальная точка траектории соответствует параметрам (16.17) при t = 0.
Фиксируем в Г конечный объём AqAp и достаточно большой промежуток времени (0;ti). Будем следить за теми промежутками времени to, когда фазовая траектория находится внутри данного выделенного объёма. Тогда при t\ —> ос величина
w = Iim — (16.22)
tl—юо 11
является вероятностью попадания фазовой траектории в объём AqAp при t > 0. Если теперь взять бесконечно малый объём
d^j = dq dp = dq\ ... dq3Ndpi ... dp3N, (16.23)
то величина dw пропорциональна d'y:
dw = f(q,p, t) d'y = f(q,p, t) dqdp. (16.24)
Коэффициент пропорциональности f(q,p,t) в (16.24) представляет собой плотность вероятности нахождения траектории системы внутри малого объёма d^. Вероятность нахождения
Элементы статистической механики
183
траектории внутри макрообъёма 7 С Г выражается интегралом
г
w( 7)= /0?>Р>*)^7= f(q,p,t)dqdp. (16.25)
7 7
Необходимо отметить следующие свойства функции /.
а) Вероятность нахождения траектории во всём пространстве Г в любой момент t равна единице:
f(q,p,t)dqdp = 1. (16.26)
б) Вероятность выхода траектории на границу <9Г равна нулю. Другими словами, граница фазового пространства недостижима:
(q,p)edT: f(q,p,t)= 0. (16.27)
в) Как и у любой функции времени и гамильтоновых переменных, полная производная по времени df /dt в силу канонических уравнений Гамильтона (16.16) представима в виде
df__df_ df_ m df_._df_ df дН df дН _
dt dt dq^% ^ дрі^г dt dqi dpi dpi dqi
= ^ + [f,H], (16.28)
где использовано обозначение
ЭАЭВ дАдВ lA(<,,p),B(q,p)) = WtWrWtWt, (16.29)
называемое скобками Пуассона функций А и В.
Рассмотрим векторное пространство Mbiv, элементами которого являются векторы R с компонентами (q\,... ,рш). Векторы скорости V(q,p) в этом пространстве имеют вид
V =*R = (q\(q,p),...,q3N(q,p),p\(q,p),...,p3N(q,p)y (16.30)
Фазовое пространство Г представляет собой 67У-мерный жидкий объём в Rm. Аналогом плотности р этого жидкого объёма будет служить плотность вероятности /. Тогда “уравнение неразрыв-
184
Лекция 16
ности” в каждой точке (q,p) Є Г в любой момент времени t записывается по аналогии с (6.10)
т. е. для истинного движения системы при любых начальных условиях плотность вероятности f(q,p,t) постоянна. В этом состоит утверждение теоремы Лиувилля. Подставляя (16.33) в (16.28), получим основное уравнение статистической механики — уравнение Лиувилля:
Уравнение (16.34) является линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка для функции f(q,p,t) с переменными коэффициентами. Эти коэффициенты известны, если задана функция Гамильтона Н. “Граничным” условием для / является требование (16.27), а в качестве начального условия можно взять следующее:
причём функция /о, зависящая от 6N переменных, задана. Решение начально-краевой задачи (16.34), (16.27), (16.35) и нахождение функции / представляют собой основную задачу статистической механики.
Назовём интеграл
г
математическим ожиданием величины F(q,p,t), или её средним статистическим значением, или средним по ансамблю.
-L+ JAivV=O.
df
(16.31)
dt
Ho, используя уравнения (16.16), имеем
Q2H O2H O2H
¦---- + ----- ----7—-
dqi др\ dq3N дрш
O2H
= 0.
(16.32)
Таким образом, из (16.31) и (16.32) следует
(16.33)
(16.34)
t = 0 : f{q,p,0) = fo(q,p),
(16.35)
M F= {F}= F(q,p, t)f(q,p, t) dqdp (16.36)
Элементы статистической механики
185
Оно зависит лишь от времени. Так, среднее по ансамблю от функции Гамильтона есть полная энергия системы:
M H = E. (16.37)
Дисперсией F(q,p,t), или моментом второго порядка F(q,p,t),
называется величина
\2 — /(г? /еЛ\2
DF = M(F - MF) = <(F - (F))2). (16.38)
Можно определить и другие средние значения F, например среднее по времени
F (t0) = Iim
т—>0 T
to+T
1
F(q(t), pit), t) dt. (16.39)
tO
Если F не зависит от to Є [0; Tq] , то говорят, что система при t < Tq находится в равновесном состоянии. Множество равновесных состояний системы при фиксированных внешних макроскопических условиях носит название равновесного ансамбля этой системы.
Статистическая механика применительно к MCC оперирует средними значениями детерминированных функций [15]. В статистически однородных системах для любой функции F
(F) = F9 (16.40)
т. е. среднее по ансамблю совпадает со средним по времени. В этом заключается известная в теории вероятностей гипотеза эргодичности. В рамках данной гипотезы все средние значения разумно трактовать как макроскопические параметры, которые можно измерить в экспериментах.
