Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
Cs U'
P = Cijkluk,lj — H- kj, (20.48)
и в третью группу равенств (20.39):
J/C' '
^i — Pi^ “I” dijk(Cjkmnum,n fijkti CmjkLp,т) ~^<P,j =
Из второго уравнения Максвелла (20.21) следует, что
(20.50)
ЛЕКЦИЯ 21
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ
Все сформулированные в лекциях 6 и 7 постулаты справедливы для любой среды: жидкости, газа, твёрдого деформируемого тела, теплорода, плазмы. Для замыкания же системы дифференциальных уравнений, полученных как следствие основных постулатов МСС, требуется введение так называемых определяющих соотношений [41]. Ранее уже были рассмотрены различные параметры кинематического и статического толка. Некоторые из них были названы термодинамическими параметрами состояния.
Из всех рассмотренных параметров (скаляров, векторов, тензоров второго ранга и т.д.) можно выделить два особенных типа. Первый — это так называемые основные параметры: перемещения, скорости, температура и т.п. Второй тип — это двойственные к ним параметры, называемые потоками основных величин. Двойственными они называются потому, что свёртка основного параметра и соответствующего ему потока описывает некоторый вид энергии. Примерами потоков могут служить напряжения или вектор теплового потока.
Связи между основными величинами и их потоками и называются определяющими соотношениями. Если эти основные величины и их потоки являются термодинамическими параметрами состояния, то связывающие их определяющие соотношения часто называются уравнениями состояния. Модель сплошной среды по существу и задаётся определяющими соотношениями, которые могут иметь довольно сложную операторную природу.
В рассмотренных простейших моделях определяющие соотношения имеют вид скалярных, векторных или тензорных функций. Эти определяющие соотношения полностью восстанавливаются по экспериментально найденным числам либо функциям, которые называются материальными функциями, потому что в рамках выбранной математической модели показывают, чем один материал отличается от другого.
224
Лекция 21
Приведём примеры некоторых определяющих соотношений. Вспомним, например:
— закон теплопроводности Фурье (14.41)
qi =-KijTj, (21.1)
— закон Гука (10.3)
/ CijkiSku (21.2)
(7
— закон баротропии для идеальной жидкости (9.12)
р = р(р) или р = р(р), (21.3)
— связь “вязких” напряжений со скоростями деформа-
ций (9.49)
Tij = Al tr D Sij + 2^1 Dij, (21.4)
— соотношения, описывающие пьезоэлектрический эффект (20.18)
Pi = dijkojk, (21.5)
и соотношения, описывающие пироэлектрический эффект (20.20)
Pi=Pii?. (21.6)
В этих примерах материальными функциями являются тензор теплопроводности С компонентами Aij, тензор модулей упругости Cijkh коэффициенты вязкости Al, fi\, тензор пьезомоду-
лей dijk и материальный вектор пироэлектричества pi.
Опишем некоторые свойства определяющих соотношений и их материальных функций.
1. Определяющие соотношения подразделяются на линейные и нелинейные, причём линейность может быть геометрической и физической. Физически линейным называется оператор а = = F(є), для которого выполнен принцип суперпозиции
Ё(аi?i + ^2^2) = 011F(є 1) + а2Е(є2), а\, а2 Є М. (21.7)
В противном случае соотношения называются физически нелинейными. Операторы, задающие связи (21.1)-(21.6), очевидно, физически линейны в смысле определения (21.7). Однако их несложно обобщить на нелинейный случай. Например, нелинейный пироэлектрический эффект описывается следующим образом:
Pi=Pi(T)V, (21.8)
а нелинейный закон Фурье имеет вид
Ф = —Ay(|gradT|)T,. (21.9)
Элементы теории определяющих соотношений
225
Как видно, нелинейность достигается тем, что материальные функции (pi, Aij) становятся зависящими от инвариантов величин, которые стоят в правых частях. Для тензоров второго ранга физическая нелинейность вводится сложнее. Так, общий вид тензорно нелинейной изотропной функции одного симметричного тензора от другого симметричного тензора (например, связывающей напряжения и деформации) следующий:
&ij — ВД, h)$ij + (^Ь h)eij +
+ (^Ь І2-> ІЗ)eikekj, (21.10)
где материальные функции Fi, F2 и F3 зависят от трёх инва-риатнов 11, I2, /3 тензора деформаций. Если F3 = 0, то функция (21.10) называется тензорно линейной или квазилинейной, но остаётся по-прежнему физически нелинейной.
Если для тензорной функции (21.10) существует скалярный потенциал W(I\, I2,1%), такой что
_dW_dWdIi ~ дє діі дє ’ ( ¦ ^
то она называется потенциальной.
Геометрическая линейность имеет место, если деформации связаны с перемещениями соотношениями Коши (5.5)
eij — 2^Ui^ ~^иэл)- (21.12)
Если же деформации не являются малыми и не все компоненты
тензора дисторсии много меньше единицы, то
^ij 2 iV'iJ Л + ^k,i^k,j) » (21.13)
что означает геометрическую нелинейность.
2. Различают изотропные и анизотропные определяющие соотношения. Назовём тензорную функцию а (є) инвариантной относительно некоторой группы преобразований S, если для каждой матрицы Q преобразования S справедливо свойство
