Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
V
причём вектор Ф соленоидален, т. е. div Ф = 0. Однако если наряду с полем тока j имеется ещё поле постоянных магнитов
Г rot M
W =
dV,
(19.2)
v
то соленоидальное поле Ф может быть представлено в виде
V
j rotM\ 7ТЛ ----1------I dV,
Cr г J
(19.3)
откуда следует, что
— АФ = rot rot Ф = 4тт ( - + rot M I =
= rot (Н + АтгМ) = rot В, (19.4)
или
rot = В, div B = O. (19.5)
Напомним, что выражение потенциала (19.3) указывает на то, что вектор с rot M можно интерпретировать как плотность некоторого тока.
Итак, основные уравнения электромагнетизма записываются в виде
4тгI
С
Физическая размерность величин, описывающих электромагнитные явления, так же как и механических величин, выражается
div?? = 0, B = /iH, rot Я =
(19.6)
208
Лекция 19
в классе систем единиц измерения {MLT}. Подробнее на этом остановимся чуть ниже.
Связанность электрических и магнитных полей проявляется в динамике законом индукции Фарадея:
$)Ё • ds = — -с
OB11
dt
dE.
(19.7)
По теореме Стокса из (19.7) следует 1 rot .E • ndE =
дВп
(rot Ё)п dE.
(19.8)
Суммируя упомянутые законы электромагнитостатики и электромагнитодинамики, придём к знаменитым уравнениям Максвелла [24, 56]
* р ХдВ
rot E = ——, с от
- 4vw I 8D
r°tH = T1 + -cW
(19.9)
div D = 4ігре, div Б = 0.
При этом должны учитываться определяющие соотношения
D = Ё + 4ттР = яР, (19.10)
B = Й+ AttM = IiM, (19.11)
J = аЁ. (19.12)
Система уравнений (19.9)-(19.12) состоит из восьми уравнений (19.9) и девяти соотношений (19.10)-(19.12), т. е. всего
из 17 уравнений. Эта система содержит 16 неизвестных вели-
чин: Ё, Я, В, D,j и ре.
Однако последнее из уравнений (19.9) не является независимым. В самом деле, применяя к первому из уравнений (19.9) оператор div, получим
div|4if|=а
1 д
или -7—(div В) = 0.
С Ot
При t = to положим div В = 0 (начальные условия), тогда последнее уравнение (19.9) имеет место при любом t > to-
Уравнения Максвелла
209
Применяя далее ко второму из уравнений (19.9) оператор div, получим
TdlvJ+jI(dlvS) = a
или
t(W+^)=0' (19.13)
т. е. уже известное уравнение, которое является следствием закона сохранения заряда.
Рассмотрим теперь силы, действующие на заряды в элек-тромагнитодинамике. Из (18.20) и закона Кулона (18.25) при непрерывном распределении заряда с плотностью ре следует
F = peE. (19.14)
Элемент проводника, по которому протекает ток плотности j, испытывает в магнитном поле H так называемую пондеромо-торную силу
F= -Jx Й. (19.15)
Сумма сил (19.14) и (19.15) называется лоренцевой силой:
F = реЁ +-Jx Й. (19.16)
С
Умножим скалярно первое из уравнений (19.9) на Я, а второе на E, после чего вычтем одно из другого:
1 / г) Pt г) Г)
H -XOiE-E-XOiH = —[ — -H + -г- -E + Attj-E
С\ Ot Ot
(19.17)
Левую часть выражения (19.17) можно записать, применив свойство смешанного произведения векторов, в форме
Й ¦ (V х Ё) - Ё • (V х Й) = GijkHidjEk - CijkEiOjHk. (19.18)
С другой стороны, воспользуемся записью смешанного произведения V • (Е X Н) \
V • (Е х Н) = Cij^di(EjHji) = CijkH^diEj +
+ CijkEjdiHk — CijkHidj Ek CijkEidj Hk. (19.19)
14 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
210
Лекция 19
Из сравнения (19.18) и (19.19) заключаем, что
div (Ё х Н) = Й - rot Ё - Ё - rot Й. (19.20)
Введём теперь так называемый вектор Пойнтинга S:
S = ^-ExH, (19.21)
Аж
так что
div (Ёх Н) = ^divSf. (19.22)
Используя определяющие соотношения (19.10) и (19.11), преобразуем первые два слагаемых в правой части (19.17):
Щ ¦ H +Щ ¦ Ё = fiH- ¦ H + ХЁ- ¦ Ё = ^{ц\Н\2 + х\Ё\2)'. (19.23) Учитывая (19.20), (19.22) и (19.23), из (19.17) получим
div S+ ЫЙ\2 + я\Ё\2\ + j • Ё = 0, (19.24)
07Г '
или, после интегрирования по объёму V:
I d
8тт dt
J-EdV. (19.25)
(fi\H\2 + к\Е\2) dV = - S -ndY -
V S V
Обратим внимание на единую запись постулатов механики сплошной среды в интегральной форме (14.55) и их дифференциальные следствия (14.58). Сравнивая (14.55)
с (19.25) и (14.58) с (19.24), заключаем, что уравнения (19.25)
и (19.24) имеют форму законов сохранения энергии применительно к электромагнитной энергии T:
Г = ^-(ц\Н\2 + х\Ё\2). (19.26)
Величину T обычно называют потоком вектора Пойнтинга. Как видно из указанного выше сравнения, источники в (19.24) и (19.25) отсутствуют, а производство j - E называют джоулевым теплом:
• ’ P 1 • ’ f Ґ' Ґ' 1 i2r ист
w =J-E=-J-3 = - = —2=-- = —, (19.27)
где I — длина проводника, S — площадь его сечения, a R-сопротивление.
Уравнения Максвелла
211
Предоставляем читателю самостоятельно показать, что для проводника, имеющего форму прямолинейного кругового цилиндра радиуса а, длина вектора Пойнтинга представляется в виде
'S>2^ (19-28)
Выпишем теперь размерности некоторых используемых электромагнитных величин. Из закона Кулона (18.15) следует, что
[е] = [Fj1Z2L = M1Z2L3Z2T"1,
\ре] = [e]L-3 = M1Z2L-3Z2T-1, [Ё] = [F]/[e] = M1Z2L-1Z2T-1,
