Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
TOtE = -If, rot Я=—J+if, div .Б = 4ттре, (20.8)
С Ot С С Ot
и векторный закон Ома
/=(т(?+^хЯ)+регТ. (20.9)
С учётом закона теплопроводности Фурье для изотропного тела (15.14):
Яг = -AT г, (20.10)
уравнение притока тепла (20.5) при наличии электромагнитных сил запишется в виде (w* = 0)
pT^ = pq + AAT+^+j.E. (20.11)
at р dt
Если температура меняется незначительно (Т « Tq), то левую
часть (20.11) можно линеаризовать вблизи T = Tq и получить
уравнение теплопроводности, обобщающее (15.13):
PCv^r = pq +AAT+^+j-E. (20.12)
at р at
Определяющие соотношения идеальной жидкости (15.21)
SH «*»
замыкают систему уравнений МГД. Действительно, подсчитаем число неизвестных функций и число выписанных уравнений.
216
Лекция 20
В число неизвестных входят векторы скорости у, напряжённости электрического поля Е, напряжённости магнитного поля H, плотности силы тока j, а также скалярные величины: массовая плотность р, плотность заряда ре, давление р, температура T и плотность энтропии S, т. е. всего 17 величин. С другой стороны, имеются: одно уравнение неразрывности (20.1), три уравнения движения (20.7), семь уравнений Максвелла (20.8), три соотношения Ома (20.9), одно уравнение теплопроводности (20.12) (либо (20.11)) и два определяющих соотношения (20.13), т. е. всего 17 уравнений.
Следовательно, модель МГД для идеальной жидкости получилась замкнутой.
Несложно дать обобщение модели МГД на случай вязкой сжимаемой жидкости. Для этого вместо (20.6) необходимо записать определяющие соотношения (9.51)
P = —pi + т = (—р + Aidivf)/ + 2/ii.D, (20.14)
где Ai и /Xi — коэффициенты вязкости, т — тензор “вязких” напряжений (9.49), D — тензор скоростей деформаций (9.50).
Тогда уравнения движения (20.7) дополнятся новыми слагаемыми:
^ * Grac^ = — gradр + (Al + /хі) grad div f +
+ fjLiM+pF + pe(E+ - x я) + 3- x H, (20.15)
а в правую часть уравнения притока тепла (20.11) согласно (20.5) войдёт функция рассеивания (15.39) (ведь теперь модель необратимая):
w* = т : D = Ai (divгГ)2 + 2/zitr D2 =
= ^A1 + (divvf + 2PlD2u. (20.16)
Здесь Du — интенсивность тензора скоростей деформаций (15.34). При этом число уравнений и число неизвестных функций не изменятся и останутся равными 17.
Приведём теперь ещё одну классическую связанную модель электромагнитотермомеханики, а именно модель электротермоупругости (ЭТУ) [13,19]. Будем рассматривать, как и ранее,
Связанные модели электромагнитотермомеханики
217
малые деформации
?ij = изл) (20.17)
и считать тензор напряжений симметричным (сг^- = (Jji). Некоторые кристаллы (пьезоэлектрики) обладают свойством прямого пьезоэлектрического эффекта (прямого пьезоэффекта), который описывается определяющими соотношениями, связывающими вектор поляризации P с тензором напряжений а:
Pi = dijkajk. (20.18)
Тензор третьего ранга с компонентами называется тензором пьезомодулей. Заметим, что d^ отличны от нуля только для анизотропной среды.
Если под действием электрического поля кристалл изменяет свою форму, то присутствует так называемый обратный пьезоэлектрический эффект (обратный пьезоэффект):
ejk = dijkEi. (20.19)
Такими эффектами обладают кварц, сегнетова соль, пьезокерамика (например, титанат бария) и некоторые созданные в последнее время композиты. Эти материалы используются в различного рода преобразователях, микрофонах, стабилизаторах частоты, адаптерах, вибраторах, громкоговорителях и др.
В приборах, регистрирующих температуру (например, термопарах), часто находит применение пироэлектрический эффект (пироэффект) — возникновение электрической поляризации P под действием температуры:
P%=p%fi, fi = T -T0, (20.20)
где Pi — компоненты материального пироэлектрического вектора.
Токи, в том числе и токи смещения, не учитываются, отсутствуют также и электрические заряды. Поэтому можно воспользоваться уравнениями электростатики, являющимися следствиями уравнений Максвелла (19.9):
rot E = 0, divl3 = 0. (20.21)
Из (18.38), (20.18) и (20.20) следует
Di = Ei + Att Pi = KijEj + A Tr[dijkajk + prf). (20.22)
218
Лекция 20
Уравнения движения запишем в виде с)211 ¦
P -Q^r = aij,j + P Pi’ (20.23)
а уравнение притока тепла
(j Q 1
PTt=f[pq+(A^Tj)A- (20.24)
Из первого соотношения (20.21) следует существование электрического потенциала Lp (18.22):
E = -grad Lp. (20.25)
Таким образом, неизвестными величинами являются а, є, и, Е, D, Lp, s, Т, т. е. всего 24 величины. Для их определения имеем шесть соотношений Коши (20.17), четыре уравнения Максвелла (20.21), три уравнения движения (20.23) и одно уравнение притока тепла (20.24), т. е. всего 14 уравнений 1K Поэтому для замыкания системы необходимо привлечь десять определяющих соотношений.
В лекции 14 уже были введены некоторые термодинамические потенциалы, зависящие от различных параметров. Рассмотрим восемь таких потенциалов, каждый из которых зависит от механических и электрических параметров. Это внутренняя энергия E(S,s,D), E\(S,s, Е), свободная энергия Гельмгольца F{T,e,D), F\(S,e,E), энтальпия H(S,a,D), H\(S,a, Ё), потенциал Гиббса G(T,a, D), G\(T, а,Е). Любой из этих восьми потенциалов выражается через другие с помощью преобразования Лежандра.
