Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
из (18.16) из (18.20) из (18.49)
[/] = [е]Т-1 = MxI2LiI2T-2, из (18.51) или (18.58)
[J] = [I]L~2 = M1I2L-1I2T-1,
из (18.67)
[Я] = [j]L/[c] = M1I2L-1I2T-1 = [Ё],
из (19.21)
[S] = [Ё]2[с} = МТ~3, [div S ] = ML-1T-3,
и, наконец, из (19.26) и того, что коэффициенты /і и к безразмерны, следует
[Г] = [Ё]2 = ML~XT~2.
Для движущегося проводника необходимо учесть некоторые преобразования. Ведь до сих пор считалось, что все рассматриваемые величины изучаются в некоторой инерциальной системе отсчёта, которая условно принималась неподвижной. Все законы механики одинаковы в любой инерциальной системе отсчёта, или, другими словами, инвариантны относительно группы преобразований Галилея
tr = t, r' = г-vt. (19.29)
Как же обстоят дела с электромагнитными величинами?
Пусть, например, экспериментально установлено, что в некоторой области V пространства M3
E = 0. (19.30)
14*
212
Лекция 19
Если заряды покоятся в некоторой системе А, то на них не действуют никакие силы. Тогда из (19.16) следует, что
F = реЁ + -Jx H = ре(^Ё + -Jx н) = 0. (19.31)
Если же они движутся относительно системы А с некоторой
скоростью Va, то появляется пондеромоторная сила
F = Pe^xH. (19.32)
Так как скорость этих зарядов согласно (19.29) равна
Vai = va — V, (19.33)
то
F = ^vai х Й + -VX Н. (19.34)
С с
Итак, на заряд, покоящийся относительно системы A7 (гГд/ = = 0), действует сила
Ё=^ухЙ. (19.35)
С
Из (19.14) и (19.35) немедленно следует, что появляется напряжённость электрического поля в системе А7:
ЁА, =- х Й. (19.36)
С
Вместе с тем из (19.34) следует, что относительно системы A7 появляется и магнитное поле
Hа* = Ha = Н, (19.37)
ибо сила F должна быть одинаковой и в системе А, и в системе А7. Она выражается формулой Лоренца
F = pe^A' + YX^A')' (19-38)
Таким образом, электромагнитное поле разложить отдельно на электрическую и магнитную составляющие нельзя: поле, которое в системе А является чисто магнитным (E = 0), оказывается с точки зрения системы А7, которая равноправна с А, электромагнитным (Еа> ф 0), Hai ф 0.
Уравнения Максвелла
213
Сравнивая выражения (19.38) и (19.32), убеждаемся, что справедливы следующие преобразования векторов E и Н:
ЁА, = Ё+- х Н, НА> = Н--хЁ, (19.39)
С с
частным случаем которых при E = 0 являются выведенные ранее формулы (19.36) и (19.37).
Легко обобщить формулы (19.39) на случай материальной среды при /і ф 1, к ф 1:
Ё' = Ё+-хВ, B1 = B- -хЁ,
Z (19.40)
D' = D + - х Н, H1 = H--х D
С с
и
Jf = J-PeV. (19.41)
Соотношения (19.40) и (19.41) показывают, что уравнения Максвелла (19.9) неинвариантны относительно группы преобразований Галилея (19.29). Они инвариантны относительно группы преобразований Лоренца в IR4:
t ^^
tr = — °2 , Tj = T-Vt, (19.42)
причём следует учесть постулат о постоянстве скорости света сж 3 • IO8 м/с.
При у « с в первом из соотношений (19.42) знаменатель можно разложить в ряд по параметру у/с ив нулевом приближении оставить
tf = t-r-^. (19.43)
с
Отметим, что группа преобразований Лоренца является предметом исследования специальной теории относительности (СТО).
ЛЕКЦИЯ 20
СВЯЗАННЫЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОМАГНИТОТЕРМОМЕХАНИКИ
Напомним дифференциальные следствия исследованных в лекциях 6, 7 и 14 пяти постулатов МСС. Это уравнение неразрывности (6.10) (I постулат)
^ + pdivv = 0; (20.1)
уравнения движения (6.58) (II постулат)
// fI J —^
р— = PF +Div P- (20.2)
симметрия тензора напряжений Коши (7.7) (III постулат)
P = Pt-, (20.3)
закон сохранения энергии (14.40) (IV постулат)
de
р— = pq — divg + P : D (20.4)
и уравнение притока тепла (14.53) (V постулат)
d s
рТ— = pq — div q + w*. (20.5)
В лекции 14 эти постулаты и их дифференциальные следствия были записаны в единой форме. Отметим, что уравнений (20.1)-(20.5) девять, в то время как число неизвестных параметров в них значительно больше. Это означает, что система (20.1)-(20.5) не является замкнутой, и для её замыкания нужно выбрать конкретную модель сплошной среды.
Модели, в которых учитывается взаимное влияние механических и других полей, называются связанными. Ниже рассмотрим две связанные модели сплошных сред, проявляющих как термомеханические, так и электромагнитные свойства. Первая из них, модель магнитной гидродинамики (МГД) [21], описывает явления, происходящие, например, в плазме, и используется при расчёте и конструировании плазменных двигателей и МГД-генераторов.
Связанные модели электромагнитотермомеханики
215
Примем, что среда представляет собой идеальную жидкость,
Т’Є’ P = -PL (20.6)
кроме того отсутствуют намагниченность (/i = 1) и поляризация (х = 1), но могут протекать токи. Уравнения движения для такой модели записываются следующим образом:
P(^Г + $' Gradv) = - gradр + pF + ре(Ё + ^ х я) + ^ х Я,
С С (20.7)
причём последнее слагаемое в правой части присутствует в силу неинерциальности системы отсчёта.
Имеются также семь уравнений Максвелла (19.9):
