Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
174
Лекция 15
квадратичной функцией “температурной” деформации єт:
Pf = Pfo(T)+ Ici^eJjSll, (15.50)
где Cljkl — компоненты тензора четвёртого ранга, обладающего симметрией:
^jijkl _ ^jjikl _ ^jijlk _ ^jklij g
которая следует из записи (15.50).
Формула (15.7) записывается в виде
5A(i) = - PijCteijClV= Sai-iUv. (15.52)
V V
Выберем для простоты прямоугольную декартову систему координат. Тогда тензор напряжений Коши P можно записать как а и из (15.52) и (15.8) будем иметь
5а^ = —dtaijs'ij = —(Jijdeij. (15.53)
Уравнение (15.36) для обратимой упругой среды примет вид
pdf + psdT = (Jijdeij. (15.54)
Подставляя в (15.54) выражение (15.49), получим Bf Bf
p-jyfdT + - oiijdT) + psdT = (Jijdeij. (15.55)
Об-
Приравняем в (15.55) коэффициенты при независимых дифференциалах dT и deif
dfo df
P-Qf - P^j Ш = -ps, (15.56)
гз
д f
P-A = CTij. (15.57)
OS-
Очевидно, что соотношения (15.56), (15.57) годятся для плотности свободной энергии Гельмгольца, произвольно зависящей от тензора Er. Если же воспользоваться представлением (15.50), то из (15.57) получим
aij = Cijkii^ki - OLkiti), (15.58)
а из (15.56), (15.57) будет следовать выражение энтропии для упругого тела:
В f
Ps = -p-gf + OLijdij. (15.59)
Обозначим теперь аналогично /о аддитивные составляющие плотности энтропии и внутренней энергии, зависящие только
Неизотермические модели
175
от температуры, через Sq и ео соответственно. Назовём теплоёмкостью Cv предел при постоянной деформации:
с., = нт (т = т
Cp = (15.63)
дт“о [ATJe \дТJe' (15.60)
Тогда из формулировки первого закона термодинамики
dE = 5Q-5A{i) (15.61)
и из (15.60) следует, что
Щ; (1562)
Теплоёмкость при постоянном напряжении обозначим че-
РЄЗ с- OE0
дТ
Учитывая, что
е = Z-Ts, (15.64)
а также
df dfo
S = ~8T¦ sO = St- (15'65)
получим для теплоёмкостей:
^ = W = TW + a + W = TW = -TW-- (1566)
^ = W = tW = ~ТШ- (15'67)
Тогда из (15.59) имеем
pcv — рСр T OiijCijkiOiki = рСр TOiij Pij, (15.68)
где
/3ij = CijkiOiki- (15.69)
Таким образом, из (15.67) получим
dfo ' дТ
т
C^dT = CpIn ^ = ср\п (1 + ^)- (15-7°)
T0
Здесь использован закон Дюлонга-Пти\ теплоёмкость твёрдых тел является постоянной при температурах, превышающих так называемую дебаевскую температуру, которая для большинства кристаллов не более 100°-200°К.
176
Лекция 15
Следовательно, для плотности энтропии упругих тел справедливо выражение
T T
ps = рСр In — Ь Oiijdij = рСр In — Ь Pij {eij — OLijrS). (15.71) 1O 1O
Если перепад температуры невелик (fy <С Tq), то из (15.70) и (15.71) следует
fy ^ fy Ps = P^pTjzI I” ^ij^ijkl^kl ~ ^klfy = P^vTjzI I-
1O 1O
(15.72)
Так как уравнение притока тепла (15.41) для анизотропного тела имеет вид
рТ—= pq+ AijTij+ W*, (15.73)
а упругая среда обратима, то, учитывая соотношение
ds pcv dT , ч /, г- ^, ч
pTt = IrM+fa^y' (1574)
получающееся дифференцированием по времени (15.71),
и (15.73), запишем
дТ
Р^р~о^ = PO. KjT^j ~ TfaijGij) » (15.75)
или
дТ
Рср~0^ = PO. KjTlj — TotijCijhi^Efci — CtkiT ), (15.76)
дТ
P^v~ PQ ^jTлj ~ TfrjSlj. (15.77)
Уравнения движения для упругой среды записываются в виде (10.2)
CpjH ¦
Р-МГ = °И,3 + РР» (15-78)
или, с учётом (15.58) и соотношений (5.5), и ¦
P~QtY = Cijkiuk,ij - PijTj + pFi. (15.79)
Итак, замкнутая система уравнений связанной задачи термоупругости состоит из трёх уравнений движения (15.79) и уравнения притока тепла (15.77) (последнее слагаемое в (15.77) можно записать в форме -TjSijUi-) относительно четырёх переменных: щ, Т. В большинстве случаев последним слагаемым в правой части (15.77) пренебрегают из-за малости безразмерных величин Taij. Поэтому, например, для изотропной среды уравнение
Неизотермические модели
177
притока тепла выглядит так:
pcv^ = pq + AAT. (15.80)
Видно, что уравнение теплопроводности (15.80) может быть решено отдельно (с учётом соответствующих граничных условий и начальных данных), а после этого, зная температуру, необходимо решить уравнения движения (15.79). В этом случае задача термоупругости носит название несвязанной. Для изотропной среды уравнения (15.79) примут вид
ри- = \6j + /іД щ — ЪаКТ{ + pFi, (15.81)
поскольку в изотропном случае
Pkl = ^ijCijkl = 0^5ij[\5ij5fci p($ik$jl H- ^jk^il)] —
= a(3XSkl + 2 ц6ы) = 3 aKSkl. (15.82)
Отметим, что в задачах термоупругости надо различать адиабатические модули упругости и изотермические. В соотношениях (15.58) фигурируют изотермические модули Сфі, ибо они определяются экспериментально при постоянной температуре. В этом случае соотношения (15.50) записываются в виде
Pf = Pfo(T)+ W, (15.83)
где W — упругий потенциал:
W = pf= (15-84)
Для того чтобы вычислить адиабатические модули C^kl, нужно перейти от пары термодинамических параметров состояния Т, є к паре s, є. В этих целях согласно (15.64) введём
плотность внутренней энергии
Pe = 2 ^ijklifiij ~ Qiijfi) (ёM ~ ^klfi) ~
