Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
Образуем формально из 3N обобщённых координат q векторы q\,..., qN с компонентами
?1 = (91.?.?). •••> 5лг = (<?ЗЛГ-2-?*-!*?*) (16.41)
и назовём условной вероятностью функции F(q,p,t) величину
F(r,t) = F(q,p,t)f(qi,..., q3a-3, <?3a+i.p) dqdp,
J (16.42)
a = I,..., N.
B (16.42) в числе аргументов плотности вероятности отсутствуют компоненты вектора qa при некотором а, т. е. точка qa зафиксирована.
186
Лекция 16
Оперирование с условными вероятностями и средними величинами сильно упрощается с помощью аппарата 5-функций Дирака, о которых уже упоминалось в лекции 2. Основное свойство 5-функции, которое можно принять в качестве её определения, заключается в том, что для любой непрерывной на отрезке [а; Ь\ функции Lp(x)
8(X - у)<р(у) dy =
<р{х),
о,
если
если
CL < X < Ь,
х^а или
Из (16.43) следует, что ъ
5( х — y)dy =
1,
О,
если
если
CL < X < Ь,
х^а или
S (у) dy =
6(у) dy = 1, 5(—х) = 5(х)
х^Ь.
(16.43)
х^Ь,
(16.44)
h(x) =
(16.45)
для любого положительного числа ?.
Кроме того, вводя в рассмотрение функцию Хевисайда h(x), или “ступеньку”,
1, если X ^ О,
О, если х < О,
запишем символьную связь 8(х) и h(x)\
5{х) = hf(x). (16.46)
Для проведения стандартных операций математического анализа разрывные функции 5(х) и h(x) можно аппроксимировать последовательностями непрерывных 5-образных (рис. 49)
Рис. 49
Элементы статистической механики
187
и /i-образных (рис. 50) функций. При этом 5-образные функции Sa выглядят следующим образом:
8а(х) =
ф( х/а)
а
Iim 8а(х) = 8(х), (16.47)
а^О
(X) dx
где ф(х) ^O- произвольная интегрируемая на всей оси функция. Такими функциями могут быть, например,
ф1(х) = е~х\ ф2{х) = t + 1^2to, ш>1. (16.48)
В качестве же /i-образных функций ha(x) проще всего взять первообразные функций (16.48).
Продифференцируем по х соотношение (16.43) и воспользуемся формулой интегрирования по частям:
<р'(х) =
ъ ъ
д Г д
— S{x-y)ip(y)dy = ~ —8(x-y)ip{y)dy =
= — 8(х — b)ip(b) + 8(х — a)ip(a) + 8(х — y)ip'(y) dy. (16.49)
Так как 5(ж — а) = 5(ж — Ь) = 0 во всех точках интервала а < < х < Ь, то из (16.49) получим
ъ
V1(X) =
8(х - у)<р'(у) dy.
(16.50)
Рассмотрим также многомерные S (г)-функции, понимаемые как 5(f) = 5(жі)5(ж2)5(ж3), (16.51)
или, для векторов (16.41):
8(qa) = 8(дза-2)8(дза-і)8(дза)- (16.52)
188
Лекция 16
Тогда аналогично (16.43) и (16.44) будем иметь
' д(г), если г Є V,
<*>(r- qa)g(qa) dq3a-2dq3a-\dq3a =
v
О, если Г ?: V,
(16.53)
у
¦ 1, если г Є V,
S{r-qa)dq3a_2dq3a-ldq3a = { Л (16.54)
1 0, если г ? У.
Определение условной вероятности (16.42) с учётом свойств (16.53) и (16.54) теперь можно дать следующим образом:
F(г, t) =
F(q,p,t) f(q,p, t) S(r — qa)dqdp. (16.55)
ЛЕКЦИЯ 17
МАКРОВЕЛИЧИНЫ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ СОСТОЯНИЯ
Овладев из прошлой лекции понятиями условной вероятности и среднего по ансамблю и по времени, можно перейти к трактовке уже известных макровеличин, таких как плотность, скорость и др., как средних по ансамблю от объектов, с которыми оперирует статистическая механика [15].
Например, средним по объёму числом частиц, находящихся в момент времени t в точке г, назовём сумму
где угловые скобки означают операцию (16.36). Среднее по объёму число частиц и, очевидно, имеет размерность L-3. Для того чтобы получить общее число N частиц во всём объёме, занимаемом системой, необходимо проинтегрировать u(r,t) по всему этому объёму.
Величину
назовём макроскопической плотностью в момент времени t в точке г. Если массы всех частиц одинаковы и равны га, то из (17.1) и (17.2) следует, что
Наряду с определёнными в (16.41) векторами обобщённых координат <fi,..., qN введём в рассмотрение векторы обобщённых импульсов ра, a = I,..., TV:
CK=I ' CK=I
CK=I
N г
У] 8(r-qa)f(q,p,t)dqdp, (17.1)
p(r, t) = mu[f, t).
(17.3)
Pa = (РЗа-2,РЗа-\,РЗа), Pa = maqa. (17.4)
190
Лекция 17
Тогда макроскопической скоростью частицы, находящейся в момент t в точке г евклидова пространства, называется величина
I / N \ I N
v(r,t) = -(y2pa5(f-qan = -^(ЙДг-Й*)). (17.5)
P \Q=i / P Q=I
Обратимся к уравнению Лиувилля (16.34) и перепишем его в новых обозначениях:
У,= \
(17.6)
dt ^ Oqa
а=\ а-
Умножим обе части соотношения (17.6) на трд(г — qp), проинтегрируем по Г и просуммируем по (З от 1 до N. Первое слагаемое в силу определения макроскопической плотности (17.2) даст следующее:
N
Q /
YmP $(r-qp) — (q,p,t)dqdp =
/5=1
dt
N
=§tibmi>wf-v»=%
P=і
(17.7)
Для третьего слагаемого (17.6) будем иметь
N г nQ
YmP S^~ ^Y (SB*) dq dp =
/3=1 I CK=I Ра
N N
= EEm^
P=1а=1
_д_
др0
ti(r-q/3)fp dq dp = 0, (17І
так как последний интеграл по формуле Остроградского-Гаусса можно свести к интегралу по границе <9Г фазового пространства Г. Воспользуемся свойством (16.27) плотности вероятности / и сразу получим (17.8).
