Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
Так, потенциал G\ можно выразить через внутреннюю энергию E с помощью преобразования
G1=E-ST- (J13E13 - D1E1. (20.26)
Тогда
dG\ = —S dT — ?ij d<Jij — Di dEi. (20.27)
Введём потенциал G2 такой, что
dG2 = S dT + Eij doij + Di dEi =
= S dfi + Sij daij + Dl dEi, (20.28)
1) Заметим, что уравнение (20.25) не может быть учтено, ибо из него следует тождественное удовлетворение первого соотношения в (20.21).
Связанные модели электромагнитотермомеханики
219
где для удобства использована величина D* = Dif(Air). Для неё из (20.22) имеем
D* = ^xijEj + dijkajk + рід. (20.29)
Вместо энтропии S будем рассматривать её плотность 5, для которой справедливо соотношение (15.71)
T
ps = рср In — + OtijGij. (20.30)
1O
Если температура T не очень сильно отклоняется от Tq, т. е. її <С Tq, то вместо (20.30) можно записать
її
P-S = рср—+ aijUij. (20.31)
1O
Из связи дифференциалов (20.28), очевидно, следует, что
OG2 _ s <№2 _ ^G2 _ (20 32)
дт~ь’ Ooij ~?'3, OE1 {20'd2}
Вторые производные от G2 по основным параметрам дают
O2G2 = (dS\ = Cp O2G2 = Oeij =
OT2 \дт]а T0' Oal3Oakl Oakl
O2G2 _ 0D* _ Xij
дEidEj OEj Att '
Здесь Jijki — компоненты изотермического тензора упругих податливостей.
Учитывая “связанные” эффекты, выпишем вторые смешанные производные G2. Получим компоненты тензора теплового расширения QLij'.
ҐІГ
= CLij, (20.34)
O2G2 _d?ij OTdaij дТ
компоненты материального вектора пироэлектричества Pi:
Q2G2 _ 0D*
OTdEi ОТ а также пьезоэлектрические модули с^:
= Pi, (20.35)
O2G2 _ Oejk
OEiOajk OEi
= dijk. (20.36)
220
Лекция 20
Потенциал G2, как и всякий термодинамический потенциал, зависит от термодинамических параметров состояния, например тензора второго ранга р. Чтобы получить физически линейные определяющие соотношения, будем считать G2 квадратичной функцией от р:
BCi сРС
°2 = + + (20'37)
Так как любой термодинамический потенциал определяется с точностью до константы, без ограничения общности примем G® = 0. Кроме того, в некотором равновесном положении /і?. = = 0 равна нулю обобщённая сила (<9G2/<9/iij)(/i0) = 0. Таким образом, на определяющие соотношения не оказывают влияния первые два члена разложения (20.37). Используя данное разложение, можно записать
0 _ O2G2 q , A2G2 , O2G2 р OT2 OTdaij0? 13 OTOEi и
+ +/? ?ь (20.38)
OTOaij OaijOaki OEkOaij
O2G2 . O2G2 O2G2 „
i ~ OTOEi + OEiOauau + OEiOEj j’
или, в терминах плотности энтропии s, учитывая (20.33)-(20.36):
ОС
ps = -^fy + CXijGij + PiEi,
1O
Sij — Otijfy Jijki^ki “Ь dfcijEfc, (20.39)
Ei = Pify dijk&jk + Ej.
Равенства (20.39) и являются недостающими десятью определяющими соотношениями, о которых шла речь в этой лекции при постановке задачи ЭТУ.
Если напряжённость электрического поля отсутствует, т. е. E = 0, то определяющие соотношения (20.39) принимают вид
pS j-, fy H- OtijOiji ^ij = ^ij CXijfy Jijkl&kl (20.40)
Связанные модели электромагнитотермомеханики
221
Умножая вторую группу равенств (20.40) на Cmnij и суммируя по индексам г и j, придём к зависимости (15.58) напряжений от деформаций и перепада температур:
тп — Cmnij(Sij OLijflt) — CmnijEij, (20.41)
или, с учётом обозначений (15.69):
crTrm = Cmnij?ij — f3mnfy. (20.42)
Итак, определяющие соотношения линейного термоупругого тела, о которых говорилось в лекции 15, получаются как частный случай соотношений (20.39).
Подставим теперь (20.42) в первое равенство (20.40):
ps = ^ ¦& + atj(cijklekl - Pij-д) = ^ $ + PklSkl. (20.43)
1O 1O
Обратимся снова к нелинейному уравнению притока тепла (20.24) и линеаризуем его вблизи некоторой температуры T = Tq (і?<Го). Дифференцируя по времени (20.43), а также первое равенство (20.40), найдём выражение для производной pds/dt, которое подставим в (20.24). Окончательно линеаризованное уравнение притока тепла можно записать в одной из двух форм:
PcV^ = pq+ (KjTj)tl - T0Jt(PljSlj) (20.44)
dT d
Pcp~j^ = PQ Л ~ r^o^{p^ij^ij)- (20.45)
Как видно, в уравнениях (20.44) и (20.45) присутствуют механические слагаемые, однако в случае медленно текущих термодинамических процессов последними слагаемыми в них можно пренебречь по сравнению с другими l). В результате получается обычное уравнение теплопроводности
dT
pCp~dt=f>q+ ^Т’^л’ (20.46)
которое решается отдельно от системы уравнений электроупругости в случае электростатики.
либо
О Об этом уже шла речь в лекции 15.
222
Лекция 20
Попробуем упростить рассмотренную систему двадцати четырёх уравнений. Для этого умножим вторую группу определяющих соотношений (20.39) на Cmnij и просуммируем по индексам г и j:
где ekmn = Cmnijdkij. Подставим напряжения (20.47) в уравнения движения (20.23):
= (Pi - dijkf3jk)ti +
CimneUm,п “Ь ( ш* (20.49)
Итак, относительно трёх компонент вектора перемещений щ, температуры T и электрического потенциала Lp получена система пяти уравнений: (20.46), (20.48) и (20.50). Причём благодаря “независимости” уравнения притока тепла (20.46), как уже было замечено, оно решается отдельно, после чего функция T подставляется в подсистему электроупругости (20.48), (20.50) относительно четырёх неизвестных Щ И Lp.
