Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
(15.20)
откуда имеем
-I = T
P
(15.21)
'Эе
гdPJs P
Таким образом, замкнутую систему уравнений для совершенного газа при неизотермических процессах составляют три уравнения движения Эйлера (15.9), два уравнения состояния (15.21), уравнение неразрывности (15.1) и уравнение притока тепла (15.11) (или (15.16)), т. е. всего семь уравнений относительно семи неизвестных: V, р, р, s, Т.
Для совершенного газа известно выражение для энтропии (13.50):
S = Cv In (ТУ7-1) + const. (15.22)
Полагая термодинамические параметры для некоторого состояния фиксированными: Sq, Tq, Vq, запишем (15.22) в виде
S-Sq
= In
или, для плотности энтропии: 5 - S0
= In
Co 1
т_
п
T
T0
V0
Po
P
7-1
7-1'
(15.23)
(15.24)
Тогда из (15.24) можно выразить температуру:
Неизотермические модели
171
и из (15.12) найти выражение для плотности внутренней энер-
гии: /V-1 / - \
е = CvTq I — J exp I-—— J + const. (15.26)
Определим теперь модель ньютоновской вязкой жидкости как необратимую среду, для которой плотность свободной энергии Гельмгольца / зависит от двух параметров состояния:
f = f(T9p), (15.27)
а тензор напряжений Коши имеет вид (9.47)
PiO = -р&з+тч, (15.28)
где тензор “вязких” напряжений т — линейная тензорная функция от тензора скоростей деформаций (9.49):
Tii = Aidi WvGij + 2/ii GlkGjlDkh (15.29)
Из (15.8), (15.27) и (15.28) следует, что для вязкой жидкости изменение плотности работы внутренних сил имеет вид
да= --dp — dt Tlj Dij = ppd^-^j + Ai (div?;)2 + 2/xi tr D2,
(15.30)
ГДЄ D = GlkGjlDl3Dkh (15.31)
Разлагая тензор D на шаровую часть и девиатор D:
— 1
3
получим
DiJ = DiJ + - div V Gij, (15.32)
D2 = D2+ ^ (divv)2, (15.33)
где D^ — интенсивность тензора скоростей деформации
Dk = V tr D2. (15.34)
Из термодинамического тождества (14.34) и определения (14.16) следует
dF + SdT =-5A{i)-W*dt, (15.35)
что можно записать и в терминах соответствующих плотностей:
pdf + psdT =-Sa^-w*dt. (15.36)
172
Лекция 15
Из (15.36), (15.30) находим
pdf + psdT = V-dp + dtTijDij - w*dt. (15.37)
Принимая во внимание определение модели вязкой жидкости (15.25), из (15.37) получим
(її-J «*>
и выражение для плотности функции рассеивания
W* = TiWij = ^Ai + (divu )2 + 2рхDl (15.39)
Уравнения движения (15.2) для вязкой жидкости выведем, используя определяющие соотношения (15.28), (15.29). Эти уравнения имеют вид (9.52)
dv ->
P~dt = _ SracjP+ (^i +/ii) graddivi; +/iiAv + pF. (15.40)
Итак, замкнутую систему уравнений вязкой ньютоновской жидкости составляют три уравнения движения (15.40), два уравнения состояния (15.38), уравнение неразрывности (15.1) и уравнение притока тепла (15.5), которое с учётом закона Фурье можно переписать в виде
ds
рт— = pq + AAT + w*. (15.41)
При этом функция рассеивания w* выражается формулой (15.39), а компоненты тензора скоростей деформации Dij связаны с компонентами вектора скорости соотношениями
Dij = — + VjVi). (15.42)
Поэтому функция рассеивания в уравнении притока теп-
ла (15.41) выражается с помощью (15.32)-(15.34), (15.41) через компоненты вектора скорости у и имеются, как
и в идеальной жидкости, семь уравнений относительно тех же семи неизвестных: v, р, р, 5, Т.
Из (15.39) видно, что w* положительно определена, если
Ai + |/іі > 0, pi > 0. (15.43)
Неизотермические модели
173
Если жидкость несжимаема, то уравнения Навье-Стокса (15.40) принимают вид (9.54)
— - gradр + rjAv + F = (15.44)
где г} = [1\/р>0 — коэффициент кинематической вязкости, а функция рассеивания (15.39)
W* = 2^Dl (15.45)
положительно определена при > 0.
Заметим, что модель вязкой жидкости можно задать не с помощью плотности свободной энергии Гельмгольца (15.27), из которой следуют определяющие соотношения (15.38), а с помощью плотности внутренней энергии (15.19), следствиями которой являются определяющие соотношения (15.21).
Дадим теперь определение линейного упругого тела для неизотермических процессов [19]. Моделью такого тела назовём обратимую среду (w* = 0), для которой свободная энергия Гельмгольца — функция температуры и тензора малых деформаций:
F = F(e,T), f = f(e,T). (15.46)
Воспользуемся гипотезой Дюгамеля-Неймана, которая заключается в том, что что аргументом в (15.46) может служить комбинация механической деформации и перепада температуры:
Zij = Zij-OLijd. (15.47)
Здесь aij — компоненты симметричного тензора теплового расширения, а $ — перепад температуры, т. е. разность между текущей температурой T и некоторой постоянной Tq 0 :
= T -T0. (15.48)
Представим тогда функцию / в виде
/ = /о(Т) + /(?Г), (15.49)
выделив аддитивную составляющую /о (T), зависящую лишь от температуры 2). Чтобы определяющие соотношения упругой среды были линейными, естественно выбрать свободную энергию
1) Постоянная Tq вводится в связи с недостижимостью абсолютного нуля T = O (третий закон термодинамики).
2) В дальнейшем “волну” над / во втором слагаемом правой части (15.49) будем опускать.
