Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
Для описания моделей MCC удобнее использовать плотности рассматриваемых термодинамических функций и потенциалов. Чтобы выразиться точнее, запишем ещё раз формулировку первого закона термодинамики в виде (12.51)
dE + dK = 5А{е) + SQ (14.31)
или в виде (12.5)
dE = -SA(i) + SQ. (14.32)
Запишем далее формулировку второго закона термодинамики в форме (13.39)
TdS = 5Q + W*dt. (14.33)
Исключая 8Q из (13.32) и (13.33), выпишем термодинамическое тождество, обобщающее (13.43):
dE = TdS- SA(i) - W*dt. (14.34)
Термодинамические постулаты MCC
163
Выражения для dK, SA^ и SA^ известны из соотношений (7.15), (7.21), (7.17), (7.18), (12.2). Запишем в интегральной форме неизвестные ещё выражения, входящие в формулировки первого (14.31) и второго (14.33) законов термодинамики. Назовём плотностью внутренней энергии е, плотностью энтропии s и плотностью рассеивания w* величины, определяемые следующим образом:
E =
pedV, S =
psdV, W* =
w*dV.
(14.35)
у
у
У
Чтобы записать выражение для величины SQ, рассмотрим произвольный конечный объём V тела, ограниченный поверхностью S (рис. 48). Пусть в каждой материальной точке этого объёма задана массовая плотность тепла д, а на границе объёма на каждом элементе площади действует q(n) _ нормальная составляющая вектора потока тепла q:
g(n) = QiUi = q. fi. (14.36) Рис. 48
Тогда приток тепла SQ в объёме V за промежуток времени dt будет равен
SQ = -dt I q^dE + dt I pqdV,
(14.37)
У
а в силу (14.36)
SQ = —dt
q • ії dY + dt
pq dV = dt
(pq- divq)dV. (14.38)
у
У
Знак минус в первом слагаемом правой части (14.37) объясняется тем, что нормаль п является внешней, а положительный поверхностный приток тепла должен быть направлен извне внутрь тела с объёмом V.
Заметим, что размерности вновь введённых величин таковы:
[е] = L2T-2, [s] = L2T~2e~x [q] = L2T~z [q{n)] = MT-3.
(14.39)
Итак, из (14.33) имеем в каждой материальной точке объёма V:
т dS *
PT = pq - qu + w .
(14.40)
11
164
Лекция 14
Уравнение (14.40) называется уравнением притока тепла. Очевидно, что оно является дифференциальным следствием второго закона термодинамики.
Для большинства тел справедливы определяющие соотношения, связывающие вектор теплового потока q с градиентом температуры grad Т. Эти соотношения называются законом теплопроводности Фурье:
Q = — Д • gradT, или qi = -AijTj, (14.41)
где Д — положительно определённый симметричный тензор второго ранга, называемый тензором теплопроводности. Используя (14.41), уравнение притока тепла (14.40) можно записать в форме rU
(14.42)
рТ^-PtIjr і + w*•
Первый и второй законы термодинамики формулируются в виде постулатов МСС.
Закон сохранения энергии (IV постулат МСС). Пусть О є M3 — объём, занимаемый телом в актуальной конфигурации, V — произвольный жидкий объём в ft, a T — его граница с единичной нормалью N. Тогда в любой момент времени
d_ dt
V
pie +
dV =
v
p[F -v + q) dV+
(S^-v-q{N))dE, (14.43)
+
или, учитывая теорему живых сил (7.20), d реdV = (pq + PijDij) dV -
dt
(14.44)
V
V
В самом деле, из (7.20), (7.21), (7.16)-(7.18) имеем
d_
dt
P-
dV =
v
v
pF • v dV +
+ ¦ vdH +
Подставляя (14.45) в (14.43), получим (14.44).
F1Wij dV.
(14.45)
у
Термодинамические постулаты MCC
165
Заменим в (14.43) поверхностный интеграл на объёмный с помощью теоремы Остроградского-Гаусса:
(S^-v-q^)dE = I(Pi-V-Qi)NidE =
Vi(Pi-v-qi)dV= (ViPi -V + PijDij - Viqi) dV, (14.46)
V V
и получим в каждой точке объёма V:
+ ^)=«+(V,P-+pF) -V +
+ PiWij-Viq\ (14.47)
Учитывая уравнения движения сплошной среды (6.58), получим дифференциальное следствие закона сохранения энергии (четвёртого постулата МСС):
СІЄ ¦ ¦
Pjt= Pq-Viq1+ Рг> Dij. (14.48)
Точно к такому же результату придём, если в (14.44) заменим поверхностный интеграл на объёмный:
qW dV =
Vi qi dV,
(14.49)
V
и применим основную лемму.
Постулат о притоке тепла (V постулат МСС). Пусть Q Є M3 — объём, занимаемый телом в актуальной конфигурации, V — произвольный жидкий объём в ft, a Ti — его граница с единичной нормалью N. Тогда в любой момент времени
А_
dt
ps dV =
ч
(N)
T
¦dS +
V
V
V
W
~Т
QiViT
J12
dV.
(14.50)
Последний интеграл в правой части (14.50) называется производством энтропии:
'w* QiViTs ~Т ~
S* =
V
dV ^ 0,
(14.51)
и всегда неотрицателен. Покажем это.
166
Лекция 14
Заменяя поверхностный интеграл в (14.50) на объёмный,
у
dV =
V
q*ViT
Ji rY2
dV, (14.52)
и применяя основную лемму, получим дифференциальное следствие пятого постулата MCC — уравнение притока тепла:
PT^ = Pq -V1Q1+ w*
(14.53)
Согласно (13.40) ш* ) 0, а в силу (13.25) T > 0. Поэтому первое слагаемое подынтегрального выражения в (14.51) неотрицательно. Далее, согласно закону теплопроводности Фурье (14.41) производство энтропии S* записывается в виде
