Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
'w* . ViTV1T4
7^ + V
s* =
V
T
dV> 0.
(14.54)
Тензор Л положительно определён, т. е. S* не может принимать отрицательные значения, что и доказывает неравенство (14.51).
Модель МСС, для которой w* = 0, называется обратимой. Из (14.51) и (14.54) видно, что производство энтропии не равно нулю и для обратимой модели, если только рассматривается необратимый процесс (теплопроводности).
Все пять постулатов MCC допускают запись в едином виде. Пусть а — некоторая скалярная либо векторная величина, т. е. тензор нулевого либо первого ранга. Тогда закон изменения этой величины представйм в интегральной форме: d
dt
padV =
р AdV +
dL +
CdV,
(14.55)
У У S У
где А — некоторый тензор того же ранга, что и а, называемый источником величины a; — поток величины а:
B{n) = B-N, (14.56)
где тензор В имеет ранг, на единицу больший, чем а; С — некоторый тензор того же ранга, что и а, называемый производством
величины а, причём для скалярной величины а
0. (14.57)
Дифференциальное следствие интегрального соотношения (14.55) имеет вид
= рА + ШВ + С.
(14.58)
Термодинамические постулаты MCC
167
Если А = = C = О, то (14.55) называется законом сохра-
нения величины padV.
Для первого постулата (6.8) имеем
0=1, A = BW = C = 0, (14.59)
для второго постулата (6.34)
a = v, A = F, Б(лг) = 5(л°, C = O, (14.60)
для третьего постулата (7.2)
а = г XV, A = г х F, = г х S(iV), C = O, (14.61)
для четвёртого постулата (14.44)
a = е, A = pq + PijDij, B^ = -q(N\ C = 0, (14.62)
для пятого постулата (14.50)
« = A=I В™ = -^, С =^- (14.63)
Как уже было отмечено, в задачах MCC удобней пользоваться плотностями е, 5 термодинамических потенциалов E, S (14.35). Это же относится и к теплоёмкостям Cv (12.20) и ср (12.21). Будем пользоваться массовыми плотностями этих величин и называть их для сокращённости просто соответствующими теплоёмкостями:
pcv dV,
pcpdV. (14.64)
У У
В силу (12.13) из (14.64) следует другое определение величин Cv
И Cp:
cv = ср = ^~f. (14.65)
M0 р M0 у J
В самом деле, при малых, но конечных величинах V из (14.64)
следует: Cv = pcvV.
ЛЕКЦИЯ 15 НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Вооружившись знанием пяти основных постулатов МСС, вновь сформулируем рассмотренные ранее основные модели сплошных сред, но уже с учётом неизотермических процессов.
Выпишем дифференциальные следствия известных постулатов. Из постулата о сохранении масс имеем уравнение неразрывности (6.10)
^ + pdivv = 0. (15.1)
Следствием постулата об изменении количества движения являются уравнения движения сплошной среды (6.58)
= ViPi+ pF. (15.2)
При этом согласно постулату об изменении кинетического момента тензор напряжений Коши (6.55)
Р = Ёг®Рг = PljEl <?> E3 (15.3)
оказывается симметричным.
Дифференциальным следствием первого закона термодинамики (14.48) является уравнение сохранения энергии
dc
р- = pq- div q + F*Dzv (15.4)
а следствием второго закона термодинамики — уравнение притока тепла (14.58)
ds
рТ— = pq — div q + w*. (15.5)
Рассмотрим вначале модель идеальной жидкости, под которой будем понимать обратимую среду (w* = 0), обладающую шаровым тензором напряжений (9.6):
P^ = -VG%K (15.6)
Неизотермические модели
169
Тогда изменение работы внутренних сил 8Л^г\ учитывая (15.1),
(15.6), можно записать в виде
5A{i) = -dt
P1WijdV =
5а® dV, (15.7)
V V
где
5а® = -dt PijDij = dtPGijDij = dtp div v =
= -Idp = ppd-. (15.8)
P P
Для идеальной жидкости уравнения движения (15.2) называются уравнениями движения Эйлера (9.9):
= --grad р + F. (15.9)
at р
Уравнение сохранения энергии (15.4) согласно (15.7), (15.8) примет вид
de , _ р dp /1Г 1Лч
Р-=М-А„Ч+--, (!5-Ю)
а уравнение притока тепла (15.5) для произвольной обратимой
среды будет следующим:
ds
рТ— = pq -div q. (15.11)
Для совершенного газа имеется определяющее соотношение (уравнение состояния) (12.9). Согласно (12.25) и (14.35) внутренняя энергия E и её плотность е приобретают вид
E = CvT + const, ре = pcvT + const. (15.12)
Подставляя (15.12) в уравнение (15.10), получим
dT _ р dp /і г юч
lx„-=pq-dwg+-Tt. (15.13)
В случае несжимаемости (dp/dt = 0), учитывая закон теплопроводности Фурье (14.41) для изотропной среды
Агз=А5гз, дг = -АТг, (15.14)
получим из (15.13) уравнение теплопроводности
dT
pCv~dt = Pq + (15.15)
которое с учётом (15.11) можно записать в виде
d s
рТ— = pq + ЛАТ. (15.16)
170
Лекция 15
Сравнение уравнений (15.15) и (15.16) для несжимаемой среды даёт связь
п я п: г
(15.17)
ds dT
9 ~dt=pCv ~dt'
откуда находим выражение плотности энтропии для несжимаемой идеальной жидкости:
s = CvInT + const. (15.18)
Для сжимаемой идеальной жидкости (идеального газа) внутренняя энергия E и её плотность зависят от двух параметров состояния:
E = E(S,V), e = e(s,p).
Тогда из сравнения (15.10) и (15.11) получаем
de = T ds + dp, P2
(15.19)
