Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
^ = EfMo, (13.31)
0 i= I ^
что и требовалось доказать. Знак равенства в (13.31) относится к случаю, когда процесс С также обратим.
При доказательстве леммы о тепле был использован дискретный набор резервуаров. Из рис. 47 видно, что любой циклический процесс может быть составлен из циклов Карно. Если температура изменяется непрерывно, то представим себе непрерывный набор резервуаров, причём из каждого система будет поглощать бесконечно малое количество тепла SQ. He будем останавливаться на строгом переходе к непрерывному случаю, а отметим, что в результате такого предельного перехода неравенство (13.31) может быть записано в виде
Второй закон термодинамики
153
Интегрирование в (13.32) осуществляется по циклу, причём знак равенства относится к случаю, когда рассматривается обратимый циклический процесс. В этом случае из (13.32) будем иметь (рис. 47)
2 1
SQo6p
+
= 0.
(13.33)
Соотношение (13.33) даёт основание ввести новую термодинамическую функцию состояния, называемую энтропией: S = = S{p,V). Из (13.33) следует, что
SQ
T
= S(2) -S(I),
(13.34)
т. е. интеграл в (13.34) не зависит от пути. Поэтому функцию энтропии можно определить с точностью до константы, зафиксировав значения (p\,V\) в точке 1, и переходить в любое состояние 2 с помощью (13.34). Если один из процессов, например 1^2, необратим, то
{SQ
T
' SQ06P T
<0,
(13.35)
т. е.
<S(2) -S(I).
(13.36)
Если изучается адиабатический процесс, то из (13.36) имеем
5(2)^5(1).
(13.37)
Таким образом, в необратимом процессе энтропия конечного состояния больше, чем исходная. Из этого обстоятельства Клаузиус сделал вывод: энтропия Вселенной стремится к максимуму.
В открытых (адиабатически незамкнутых) системах энтропия может уменьшаться, но общая (суммарная) энтропия системы и окружающей среды обязательно возрастает. Эта направленность энтропии служит психологическим отличием прошлого от настоящего и будущего.
154
Лекция 13
Если система находится в тепловом контакте с термостатом и взаимодействие окружающей среды характеризуется температурой внешней среды Tq И Давлением внешней среды Pq, то из (13.36) будем иметь
dS^8-Q. (13.38)
1O
Это и есть одна из формулировок второго закона термодинамики. Неравенство (13.38) называется неравенством Клаузиуса. Однако на практике удобней пользоваться эквивалентным (13.38) равенством
TdS = SQ+ WUt, (13.39)
где W* — функция диссипации {функция рассеивания). Очевидно, что
VF* > 0, (13.40)
причём равенство (13.40) относится к обратимым процессам.
Неравенство (13.38) вместе с первым законом термодинамики (12.17) приводит к ещё одному неравенству:
TQdS ^dE+ p0dV. (13.41)
При обратимом процессе величины Pq и Tq связаны уравнением состояния, так что
TdS = dE+pdV. (13.42)
Соотношение (13.42) называется термодинамическим тождеством и является следствием первого и второго законов термодинамики. Для необратимых же процессов данное тождество принимает вид неравенства (13.41), которое согласно (13.39) можно переписать в виде равенства
TdS = dE + pdV + W*dt. (13.43)
Запишем размерность энтропии (см. (13.15)): [S] = [i?o] = = [к] = [АЩО~1 = ML2T-2O-1.
В 1877 г. Людвиг Больцман ввёл в теорию теплоты статистическое представление 1). Он использовал понятие термодинамической вероятности W. В отличие от математической вероятности р, изменяющейся в пределах 0 < р < 1, термодинамическая вероятность W всегда больше единицы (W > 1). Состояние системы, соответствующее фиксированным значениям термодинамических параметров состояния Т, /^, может быть
OO статистическом подходе подробнее поговорим в лекции 16.
Второй закон термодинамики
155
описано определённым числом механических состояний W, параметрами которых служат, например, обобщённые координаты и импульсы (см. лекцию 16). Коротко можно сказать, что W — число микроспособов реализации данного макроскопического состояния системы. Таким образом, величина W тем больше, чем более беспорядочным является состояние системы с точки зрения параметров, описывающих механическое движение молекул этой системы.
Каждому значению термодинамической вероятности W, по Больцману, соответствует некоторая величина S(W). Суммарная энтропия S двух систем будет равна
S = Sa +Sb. (13.44)
Для термодинамической же вероятности суммарной системы,
очевидно, выполняется равенство
W = Wa-Wb. (13.45)
Таким образом,
• Ws) = S(Wa) + S(Wb). (13.46)
Решением функционального уравнения (13.46) является
S = Zcln W. (13.47)
Формула (13.47) называется формулой Больцмана. Она высечена на памятнике Больцману в Вене.
Докажем, что в (13.47) к — постоянная Больцмана, введённая в лекции 12. В самом деле, для совершенного газа из (13.40) имеем
TdS = cvdT + pdV. (13.48)
Отсюда
dT р dT dV п/п т-> ті тл
dS = cv- + -dV = cv — +R0- = cvdlnT + R0dlnV.
(13.49)
Следовательно, для совершенного газа энтропия имеет вид
S = Cv In (TV1-1) + const. (13.50)
Для изотермического процесса из (13.49) имеем
