Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
поглощается количество тепла Qi6p- Согласно первому закону термодинамики обратимая машина за один цикл совершит работу (13.1)
= Qfv -Qfv. (13.6)
Общая же работа от действия спаренных машин будет
^0 = (Q2-Qi)-(Qfp-Qfp). (13.7)
Предположим далее, что обратимая машина отдаёт резервуару с более высокой температурой как раз то количество тепла, которое поглощает обратимая машина:
Qfp = Q2- (13.8)
Тогда из (13.7) и (13.8) следует
.Aw = Qfp-Qi- (13.9)
Второй закон термодинамики
149
Это означает, что количество тепла Q° р — Qi полностью превратилось в работу, причём никаких других изменений не произошло. Ho согласно формулировке 2 второго закона термодинамики это невозможно. Поэтому работа не может быть положительной, а значит в (13.9) Q° р ^ Qi. Ho из (13.8) сразу следует, что
(13.10)
Qf <?2
или (13.4), что и требовалось доказать.
Заметим, что равенство в (13.4) имеет место, если первая машина работает тоже обратимо. Поскольку в рассуждениях не использовались свойства рабочего тела, то к.п.д. зависит только от температуры:
г]обр = v(T\,T2). (13.11)
Кельвин установил, что универсальность %бр можно использовать, чтобы ввести температурную шкалу, не связанную со свойствами рабочего тела. Выражение Q01 ^fQ2 Р тоже является универсальной функцией. Поэтому
Оі = Ф\) пзт
Q2 тг ( }
где Lp — некоторая функция температуры. Тогда можно ввести промежуточный резервуар при температуре Tnp (Ti < Tnp <
< T2), который отдавал бы и получал одинаковое количество тепла Qnp в двух дополнительных циклах Карно (Ti, Qi і Tnp 5 Qnp) И (Tnp,Qnp; T2, Q2). Так как
Q\ _ Qi Qпр /.о IOX
Q2 " Qnp ’ Q2 ( }
и поскольку Tnp выбирается произвольно, то, очевидно, справедливо (13.12). Тогда выбирают шкалу, в которой температура имеет независимую размерность 0:
[Т] =в. (13.14)
Поэтому
[Q] = ML2T-2, [Cv] = [До] = МЬ2Т-2в~\ [Я] = L2T-2O"1.
(13.15)
150
Лекция 13
Докажем теперь теорему об абсолютной температуре.
Теорема об абсолютной температуре. В соотношении (13.12) можно принять
if{T) = T. (13.16)
В самом деле, рассмотрим цикл Карно, в котором рабочим телом является совершенный газ (рис. 46).
Этап 1^2. Изотермическое расширение от V\ до V2. В силу того что для совершенного газа внутренняя энергия имеет вид (12.28), при изотермическом процессе E = const. Поэтому всё тепло, полученное от резервуара, превратится в работу, и на этом этапе получим
2
QcI =
pdV = R0T2 In (13.17)
у\
1
Этап 2^3. Адиабатическое расширение от V2 до V3. Согласно (12.45) на этом этапе будем иметь
з
Cv(T2-Tl)= LdV (13.18)
2
Из уравнения Пуассона (12.40) получим
T2Vr27-1 = TiVr37-1. (13.19)
Этап 3^4. Изотермическое сжатие от V3 до V4. На этом этапе
4
pdV = R0TlIn^-. (13.20)
Из
Qi =
Этап 4^1. Адиабатическое сжатие от V4 до V\. Согласно уравнению Пуассона (12.40) имеем на данном этапе
TiVr47-1 =T2Vr17-1. (13.21)
Теперь, сравнивая (13.19) и (13.21), получим
V1 - Vt- (1322)
Подставляя (13.22) в (13.17) и (13.20), будем иметь
I = % (1а23)
что, собственно говоря, и требовалось доказать.
Второй закон термодинамики
151
Таким образом, к.п.д. согласно (13.2) записывается в виде
V =
A® Q2-Q і T2-Ti
= 1
Tl
T2'
Q2 Q2 Ts
При этом полагается, что
Т> 0.
Итак, из (13.24) и тождества
Q2 = (1 - г]) Q2 + TjQ2
видно, что часть теплоты г/Q2 превращается в работу А^г\ а остальная часть (1 — 77) Q2 отдаётся холодильнику (тепло-приёмнику). При этом было доказано, что к.п.д. максимален для цикла Карно. Разумеется, можно рассмотреть произвольный
(13.24)
(13.25)
(13.26)
цикл, но, как видно из рис. 47, он как угодно точно аппроксимируем циклами Карно.
Докажем теперь так называемую лемму о тепле.
Лемма о тепле. Пусть некоторая система совершает циклический процесс С, обмениваясь теплом с резервуарами, имеющими температуры Т\, T2,... ,Tn, a Qi, Q2,... Qn,
— соответствующие количества тепла, которыми система обменивается с резервуарами, причём поглощаемое тепло считается положительным, а отдаваемое отрицательным. Тогда
Qi . Q2 , , Qr
Ti
+
<0.
(13.27)
Для доказательства возьмём обратимый процесс Co6p, который составлен из п обратимых процессов Карно, совершающихся
152
Лекция 13
между каждым г-м резервуаром Ti (i = 1,..., п) и новым резервуаром Tq. В каждом таком г-м процессе от нового резервуара отнимается количество тепла q[°\ а резервуару Ti возвращается количество тепла Qi. Таким образом, в результате сложного процесса С + Co6p состояние всех резервуаров останется неизменным, причём из нового резервуара будет отнято в общей сложности количество тепла Qq:
п
Qo = ?QS0). (13-28)
І=\
Поскольку процесс Co6p обратимый, то все Q1-0-1 определяются соотношением (13.23), т. е.
Qi _ Ti Qf] ~ То'
Тогда из (13.28) и (13.29) имеем
(13.29)
Qo = rToYjYl' (13'30)
І= 1
Итак, из одного резервуара (нового) при температуре Tq было извлечено некоторое количество тепла Qq. Согласно формулировке 2 второго закона термодинамики величина Qq должна быть неположительной. Из (13.25) и (13.30) получим
