Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
ЄІ = tre2 = Cijeij = ^eij - ^Qtiij) (^ij - = = trS2 - ^2-
(5.27)
1) Имеется в виду объём бесконечно малых окрестностей данной точки.
Малые деформации
63
Выразим det е через инварианты в, еи и det є тензора деформаций. Пользуясь (5.25) и (5.27), запишем
I &ij\ = ^ijk^\i^2j^3k =
Таким образом, det е является кубическим инвариантом тензора деформаций.
Пусть известны компоненты тензора деформаций Eij и требуется определить соответствующие им перемещения. В этом случае на соотношения (5.5) можно смотреть как на систему шести дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка относительно трёх неизвестных функций щ. Естественно, система уравнений (5.5) не всегда является совместной. Заметим, что для однородного деформированного состояния
Предположим теперь, что разыскиваемое поле вектора перемещений и достаточно гладкое. Тогда выполняется тождество
eij\ — 2 $(^11^22 + ^22^33 + *33*11 — є12 — є23 — єзі) +
+ g #2(*п + *22 + *зз) — 27 — 1?! ' 2 ~~
3 2
Eij = s\j = COnst
(5.28)
решение имеет вид
щ = E0ijXj + U°,
(5.29)
где
(5.30)
^k,іj ^k,ji 0-
Добавим в обе части (5.31) выражение — Uj
Uк,ij ^k,ji “Ь ^i jk Uj ifc = Ui jfc Uj ifc.
Из (5.11) имеем
(5.31)
(5.32)
(5.33)
64
Лекция 5
Дифференцируя равенство (5.33) по Xk и учитывая (5.32), получим
^ji,k = 2 (Uijk ~ uj,ik) = ^ki,j ~ ^kj,і- (5.34)
Продифференцируем ещё раз соотношение (5.34) по Xf.
QjiM = ^kiji ~ ^kj,и- (5.35)
Левая часть (5.35) симметрична по индексам /си/, так что её свёртка с антисимметричным по к, I символом Леви-Чивиты равна нулю. Поэтому
?рЫ {&ki,ji ~ ^kj,и) = 0. (5.36)
Умножим обе части (5.36) на eqij и просуммируем по і и j:
tqijtpkl (eki,jl ~ ^kj,il) — ^qij^pkl ^ki,jl = 0- (5.37)
Уравнения (5.37) называются уравнениями совместности или условиями совместности Сен-Венана.
Вводя симметричный тензор второго ранга г], который называется тензором несовместности, с компонентами
Vij = ^ikl ^jтп ^knJmi (5.38)
уравнения совместности можно записать в виде [42]
Tjij = 0. (5.39)
Отметим, что условия совместности Сен-Венана (5.39) спра-
ведливы как для малых, так и для больших деформаций, ес-
о
ли считать є симметричной частью тензора дисторсии Vu.
Если задано векторное поле перемещений щ, то, находя из соотношений Коши (5.5) малые деформации екп и подставляя их в (5.38), (5.39), придём к тождествам
2 ^ikl ^jmn (^k,nlm ипМт) — 0- (5.40)
Поэтому соотношения (5.39) иногда называют тождествами Сен-Венана.
Тензор несовместности можно получить из тензора кривизны Римана [48]. Положим для актуальной конфигурации
vij =є’™ Rklmn. (5.41)
Малые деформации
65
При этом согласно (3.90)
_ о ( дТіт-
Rkimn = 2 ( + Г1трГкр;п I = 0.
(5.42)
d^k / [Щ
Считая деформации малыми и принимая ортогональную прямоугольную систему координат, из (3.75) получим
Г1т\п — 2
Щіп + 2єг„) + Щ тп + 2є
тп)
д?т ' д?1 д($іт + 2
— &1п,т “Ь ^mn,I ^lm,п-
(5.43)
Тогда из (5.41) для малых деформаций имеем
= ^ikl tjmn (&1п,тк H- ^mn,Ik ~ &1т,п к) — ^ikl Cjmn ^lm,пк- (5.44) Используя тождество
Єі
ikl^jmn
Sij Sim Sin
^kj ^km ^kn ^lj $lm Sln
(5.45)
из (5.38), (5.39) получим
Vij = Q,ij + І j ~ eik,kj — ejk,ki + ?>ij(ekl,kl ~ ~ (5.46)
Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор
несовместности г] можно представить в виде разложения на
шаровую часть и девиатор:
Z = mj = Vij + ^v ^ij, (5.47)
где
о Il J-H Il J-H Il (5.48)
Из (5.46) следует, что
V = ZklM - А61 = 0. (5.49)
Легко видеть, что если справедливы уравнения совместности (5.46), то справедливо уравнение (5.49) и уравнения
@,ij H- ij ~ ^ik,kj ~ ?jk,ki = 0. (5.50)
Поэтому если выполняется хотя бы одна из групп условий (5.46) или (5.50), то справедливо условие (5.49). Другими словами, уравнения (5.46) и (5.50) эквивалентны, т. е. из справедливости одних следует справедливость других [42].
5 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
66
Лекция 5
Следовательно, если выполняются условия совместности (5.46), то выполняются условия обращения в нуль всех компонент симметричного тензора второго ранга H:
Hij = Ojj + — ?ik,kj ~ ^jk,ki iij{SklM ~ (5.51)
где ? — произвольный симметричный тензор-константа второго ранга. Очевидно, что
Hij = щ при Ztij = Sij, (5.52)
Hij = Tiij при = -Sij.
(5.53)
Выберем теперь некоторую точку M0 с координатами х® и будем считать, что в ней известны перемещения щ(М°) = и® И повороты Qij (M0) = Q^j. Кроме того, всюду известны дефор-
мации Eij. Тогда перемещения в любой точке M с координатами Xi запишем следующим образом:
M MM
Ui = Uj +
Eij d^j +
^ji d^j,
(5.54)
M0
M0
M0
где ^(M0) = ?i(M) = Xi, и преобразуем последний интеграл
в (5.54), пользуясь тождествами (5.34):
LVl M
Qji d^j — Qjі^j -
M0
м
о „,о
Isj^ji,k QjiXj QjiX
M0
M
M0
?>j (^ikj ^jk,і) d^k QjiXj QjiXj H- QjiXj
M0
-
M
ij(eik,j ^jk,і) Qji(xj Xj) -\~
