Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
Итак, дифференциальным следствием закона об изменении момента количества движения является симметричность тензора напряжений Коши P [38]. О геометрической интерпретации напряжённого состояния в точке речь пойдёт в следующей лекции.
Заметим, что в прошлой лекции, когда говорилось о многофазной среде, предполагалось, что скорость макрочастицы совпадает со скоростью центра масс микрочастиц (6.22). Это означает, что центр масс микрочастиц совпадает с координатами макрочастицы. Если такое совпадение не осуществляется, то для распределения масс необходимо ввести ещё одну характеристику — тензор моментов инерции макрочастицы, компоненты
Основные постулаты (продолжение)
83
которого записываются, например, в виде
т
Jij = Ypa (4а)4а)Ьї - 4а)4а)) > (7-8)
CK=I
(а)
где z\ — координаты микрочастицы а относительно макрочастицы.
ID" u I ( (°0 (°0\ 1/2
Введем гипотетическии параметр ia = [z\ Zi J) — длину
радиуса-вектора микрочастицы а относительно макрочастицы. В этом случае первый инвариант тензора (7.8) имеет вид
т
J = Jii = Pal2a- (7.9)
а= 1
Назовём J плотностью моментов инерции. Очевидно, что для неё можно записать уравнение, аналогичное уравнению неразрывности (6.10) или (6.11):
+ Jdivv = 0, + div (Jv) = 0. (7-Ю)
Поэтому для J справедлива лемма 1.
Кроме того, в такой среде должна появиться новая кинематическая характеристика, связанная с вращением микрочастиц. Назовём эту характеристику /2 вектором внутреннего вращения. В этом случае говорят о наличии в теле момент-ных напряжений и постулат об изменении момента количества движения (7.2) записывается в виде
А_
dt
г х (pv) dV + v v
JfldVj = (г X (pF) + м) dV + (fxS{N) + Q{N))dZ. (7.11)
V S
В (7.11) M — вектор распределённых объёмных моментов в теле;
Q W = QiNi = QVNiEj, (7.12)
где Qlj — компоненты тензора моментных напряжений Q = = Ei^Qi = QijEi ® Ej.
Дифференциальным следствием постулата (7.11) являются уравнения моментов. Они могут быть получены стандартным путём: сведением всех слагаемых в (7.11) к объёмным инте-
б:
84
Лекция 7
гралам и использованием основной леммы. He останавливаясь на выкладках, запишем уравнение моментов в векторной форме:
или
Jd^ = M+ EiXpi + ViQi, at
jf = M + Pij Vg eijk Ek + ViQi.
(7.13)
(7.14)
Из (7.14) видно, что в случае присутствия моментных напряжений тензор напряжений Коши Р, вообще говоря, несимметричен.
Вернёмся к уравнениям движения сплошной среды, записанным в векторном виде (6.58). Умножим их скалярно на df=vdt и проинтегрируем по V. В правой части получим
dv
1
p—'vdt dV = — dt — H dt 2 dt
pv • v dV = dJC,
(7.15)
у
у
Величину JC назовём кинетической энергией тела, занимающего объём V:
p\v\2dV.
(7.16)
У
Второе слагаемое в левой части (6.58) приведёт к следующему выражению:
pF • V dt dV =
pF • dfdV = <Це).
(7.17)
У
У
Скалярное произведение pF • df представляет собой элементарную работу объёмной силы pF на перемещении df, поэтому величину 6А[e^ естественно назвать приращением работы объёмных сил. Для выражений, вообще говоря, не являющихся полными дифференциалами, в отличие от интеграла (7.15), здесь и в дальнейшем будем использовать символ 6, а не d.
Преобразуем далее первое слагаемое в левой части (6.58) с помощью теоремы Остроградского-Гаусса:
V1P1 -vdtdV = dt
Vx(Pl -v)dV -dt
P1 • VlVdV =
у
У
У
Основные постулаты (продолжение)
85
= dt
P1 • у Ni dT - dt
V
— dt
PijEj • ViVkEk (IV = 5Ае) - dt
S{N) ¦ dfdT, -Pt3V^dV =
V
= SA^ — dt
v
PijDij dV = SA{2e) -
v
Plj deij dV =
v
Величину
SA,
(в) _
• df
= 8 Af + <W«.
(7.18)
назовём приращением работы поверхностных сил, а
8А{І) = -
Plj d?ij dV
(7.19)
V
— приращением работы внутренних сил 0 .
Таким образом, из уравнений движения (6.58) следует одно интегральное скалярное равенство
dlC = 5А{е) + 5А{г\
где
М(е) = 5А[е) + ёЛ{2]
(7.20)
(7.21)
есть приращение работы внешних сил. Равенство (7.20) называется теоремой живых сил.
Рассмотрим теперь постулат об изменении количества движения (6.34), который сформулируем в отсчётной конфигурации. Воспользуемся равенством (6.15) для объёмных интегралов и (3.58) — для поверхностного. Тогда получим
d_
dt
PqV d\о =
P0F dVо +
1) Верхние индексы (е) и (г) у приращений SA означают соответственно: external — “внешний” и internal — “внутренний”.
86
Лекция 7
Введём вектор напряжений на недеформированной площадке с единичной нормалью п следующим равенством [38]:
?(n) = Ї9. = Mpini = Fnt. (7.23)
Na у g у fir
Из (7.23) очевидно, что векторы напряжений на недеформирован-ных координатных площадках связаны с векторами напряжений на деформированных площадках P1 соотношениями
рг = Р\ (7.24)
Подставляя теперь (7.23) в (7.22) и проводя уже знакомые преобразования интегралов, получим уравнения движения
сплошной среды в отсчётной конфигурации:
° -» dil
