Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
M0
M
M
+ X1
^jі,к
^j(^ik,j ^jk,і) d?>k —
M0
M0
M
= Q°ji(xj - X0j) + (Xj - tj)(Eik,j - Sjkj) d?k. (5.55)
M0
Малые деформации
67
Подставляя (5.55) в (5.54), придём к формулам Чезаро
м
— U і + fiji(Xj Xj) +
M0
^ik (Xj ?>j){&ik,j ^jk,i)
d?k-(5.56)
В силу сделанных предположений правая часть (5.56) известна в точке M с координатами Х{. Таким образом, формулы Чезаро позволяют определить перемещения в любой точке (M) среды по заданным всюду деформациям и известным в одной точке (M0) перемещениям и поворотам.
В формулы Чезаро входит интегрирование по произвольному контуру, начинающемуся в фиксированной точке Mq и заканчивающемуся в точке М, где и определяются перемещения. Устремим M к M0 так, чтобы этот контур стал замкнутым. Из (5.56) получим
о
^ik (Xj (,^ik,j ^jk,г)
d^k = О
(5.57)
для любой точки М°(х°), принадлежащей контуру 7.
Итак, для односвязного тела необходимым и достаточным условием интегрируемости является выполнение условий совместности (5.39), или (5.46), или (5.50), или (5.51). Если же тело многосвязно, то перечисленные условия только необходимы, и к ним требуется добавить по три уравнения (5.57) для каждого контура 7, не стягивающегося в одну точку.
ЛЕКЦИЯ 6 ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ
В предыдущих лекциях были изучены характеристики кинематики и деформирования сплошной среды и дано определение её движения. Правда, под такое определение подходит и движение нематериальной среды (например, тени). Материальность среды задаётся плотностью вещества. Каждой частице приписывается положительный скаляр р(?*, ?2, ?3, t). Тогда масса т некоторого объёма V определяется интегралом
Для объяснения причин возникновения движения материальных тел требуется введение понятия силы. Едва ли во всех естественных науках есть более распространённое и менее поддающееся определению понятие. Поэтому не будем останавливаться на нём подробно, а предположим, что читатель уже немного знаком со вторым законом Ньютона из классической механики. Заметим только, что Герц сформулировал все законы механики, вовсе не используя понятие силы. К сожалению, механика Герца не получила широкого распространения. В MCC силы делятся на массовые и поверхностные (иногда вместо массовых сил используют объёмные силы). С помощью этих понятий можно сформулировать основные постулаты механики сплошной среды.
Прежде чем переходить к их формулировкам, докажем ряд вспомогательных лемм, имеющих, впрочем, и самостоятельное значение.
Основная лемма. Пусть G Є M3 и V — произвольная подобласть G. Функция f(x\,x2,x^,t) непрерывна в G и обладает свойством
т = р dV.
V
(ел)
f(xi,x2,x3,t) dV = О
у
для любого момента времени t. Тогда / = 0.
(6.2)
Основные постулаты
69
< Доказательство проведём от противного, а именно: предположим, что в G существует точка (5?!,?,?), такая что /(?,?,?,^) ф 0 (для определённости /(?,?,?,^) > 0). В силу непрерывности / существует шар 111^(?,?,?) радиуса є с центром в (?,?,?), который полностью принадлежит G и в котором / ^ а > 0.
Выберем V = Ule и, используя свойства определённого интеграла, запишем
что противоречит условию (6.2) леммы. Следовательно, наше предположение о наличии в G хотя бы одной точки (?,?,?), где f(x\, Х2, хз, t) ф 0, неверно. Основная лемма доказана. >
Назовём жидким, или подвижным, объёмом меняющуюся со временем область пространства, состоящую из одних и тех же материальных частиц.
Лемма о дифференцировании по времени интеграла по жидкому объёму. Пусть V — жидкий объём. Тогда
где /(xi, Х2, хз, t) = /(ж, t) — любая функция, для которой существуют обе части равенства (6.4).
А В момент времени t жидкий объём занимал область V в пространстве, а в близкий к t момент t + At область Vr = V + AV. При этом AV, как видно из рис 22, состоит из элементарных цилиндрических объёмов dV та- у>
, что
dV = dY;V-nAt, (6.5) и dYi — элемент поверхнос- \ V, являющийся основанием dE
цилиндра dV, a v • п At — высо-
та dV. Рис- 22
Обозначим левую часть (6.4) через I{t). Согласно определению производной функции одного переменного и формуле
г
(6.3)
(6.4)
70
Лекция 6
Остроградского-Гаусса (2.43) 1
lit) = Iim v ; At^o At
У+ДУ 1
У
= Iim . At^O At
+ Iim —— At^o At
f(x, t + At) dV — f(x,t + At) dV -f(x, t + At) dV =
f(x, t) dV
f{x,t)dV
v
V
+
AV
^(x,t)dV +
V
+
f(x, t)v 'HdTi =
v
^L + dw(fv))dV.
Заметим теперь, что
df . ґ . df df _ df PA'
+ div (fv) = — + -—Vi + f div v = — + f div v.
dt
dt dxi
dt
(6.6)
(6.7)
Из (6.6) и (6.7) следует утверждение (6.4) леммы. Из доказательства следует, что / может быть не только скаляром, но иметь также векторную либо тензорную природу. >
Сформулируем первый постулат механики сплошной среды, который называется законом сохранения массы.
Закон сохранения массы (I постулат МСС). Пусть
V — произвольный жидкий объём в IR3. Тогда в любой момент
времени
dm ~dt = ’
(6.8)
