Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
9ij,k = 0, <& = 0, Gm = 0, G^k = 0. (3.84)
Рассмотрим теперь повторную ковариантную производную CLijk ковариантной компоненты вектора а. Пользуясь правилами дифференцирования (3.78), запишем
Если в (3.85) поменять местами индексы j и к, а затем вычесть одно соотношение из другого, получим
а пара индексов в квадратных скобках означает операцию альтернирования по этим индексам (3.86). Соотношения (3.87) определяют компоненты тензора кривизны Римана. Для евклидова пространства они тождественно равны нулю.
Симметрия, следующая из определения (3.87), а также тождества Риччи
(3.77) и (3.82).
Из (3.80) следует
где
о
о
і р то р с _________________________________ р то р с _
“г I і k -L rnj -L ij -L rnk —
O O O о
р TOp L ________ р .TOp L —
о
(3.87)
Инвариантность кинематических величин
47
влекут за собой тот факт, что число независимых компо-
о
нент Rjki1 в TV-мерном пространстве равно N2(N2 — 1)/12. В трёхмерном пространстве их всего шесть, в двумерном — одна. Опуская с помощью gin индекс I в тензоре Римана:
° ° і
Rjkin = Rjki Qlm (3.88)
получим из (3.87) для евклидова пространства
R3km ЕЕ 2 (+ TlkmTтг,п ) = 0. (3.89)
V J [jk\
Выполняя описанные выше выкладки для актуальной конфигурации, получим, аналогично (3.89):
Rjkin = 2(?1 + ГгктГтгЛ =0. (3.90)
V 0V J [jk]
ЛЕКЦИЯ 4 МЕРЫ ДЕФОРМАЦИИ
За меру деформации естественно принять величину, которая показывает, как изменяются длины материальных волокон при деформировании и как изменяются углы между ними. Этим требованиям удовлетворяет фундаментальная матрица актуальной конфигурации Gij. В самом деле, в предыдущей лекции было установлено, что с её помощью рассчитывается относительное изменение длины волокна (формула (3.56)), изменение угла между двумя волокнами (формула (3.60)), изменение площади параллелограмма, построенного на двух материальных векторах (формула (3.58)), и объёма параллелепипеда, построенного на трёх материальных векторах (формула (3.59)). Очевидно, что никакого деформирования не происходит, если фундаментальные матрицы отсчётной и актуальной конфигураций совпадают (Gij = Qij). Поэтому естественно принять в качестве компонент тензора деформации Eij полуразность компонент этих фундаментальных матриц: ^
?ij = 2(*?' ~ Qij)- (4-1)
Чтобы связать компоненты деформации (4.1) с вектором перемещений (1.16), продифференцируем (1.16) по координате
^ = ё + (4.2)
д?г
Тогда из (3.42) имеем
G^E,.E^{§+g,).(ll+g,
ди ди дІЇ _ дІЇ _ ( л
W'W + Wei + Wei + m]
и из (4.1) и (4.3) получим
Меры деформации
49
Я 9и , .
ЄІ = ЕІ -Qli- (4-5)
Ho соотношения (4.2) можно записать в виде Тогда из (4.4) имеем
= з -? = '(V If
=е«-1И-1И+!'§ <4б>
и из (4.1) и (4.6) получим другое выражение для компонент деформации:
_ I / ^ ди - ди ди ди \ . .
'-7 2 \ ~ j ‘ ~~ W ' W ¦
Разложим вектор перемещения (1.16) по векторам базиса в отсчётной и актуальной конфигурациях:
ІЇ =UiCi = UiEi. (4.8)
Дифференцируя (4.8) по координате ??, получим
дІЇ ° • -»
_ = Vi^ei = VjU1Ei. (4.9)
Подставляя (4.9) в (4.4) и (4.7), имеем
?ij = Л jruiJ ~^~uk,iuk,j) = 2% — (4-Ю)
В зависимости от выбора базиса на основе (4.10) и (4.9)
можно построить различные тензоры. Тензор
7 = Eije1 (8) eJ (4.11)
называется тензором деформации Лагранжа, а тензор
э = S13E1 ® E3 (4.12)
— тензором деформации Эйлера. Тензор
я?7 о о
?® — = V®u = W (4.13)
о?г
называется тензором дисторсии (или градиентом вектора перемещения) отсчётной конфигурации, а тензор
—>
Ег^ — = У®й=Уй (4.14)
— тензором дисторсии актуальной конфигурации.
4 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
50
Лекция 4
Рассмотрим тензор F, также являющийся мерой деформации. В литературе его называют аффинором или градиентом деформации:
о о.о . Qr . —у
F = V 0 г = Vr = ег 0 Vif= ег 0 TTTt = ег 0 -Ej. (4.15)
Ot;1
На основании тензора (4.15) введём обратный градиент деформации F~x\
Г\ —>
F~x = V 0 F0 = Vr0 = Ei 0 Vir0 = Ei 0 = Ei^ el. (4.16)
о?г
Тензоры (4.15) и (4.16) взаимообратны. Действительно,
F ¦ F~x = є1 0 Ei ¦ Ej 0 е,- = ^0? = /. (4.17)
Построим тензор Ft, транспонированный к F:
Ft= (v0f) = f®V = {Vf)T = fV = Ei®ei, (4.18)
и тензор F Т, транспонированный к F
F~T = (v 0 f(Jj = r*o 0 V = Vr*o = r*oV = єі 0 E1. (4.19)
Заметим, что тензоры дисторсии (4.13), (4.14) связаны с градиентом деформации следующим образом:
° 0.0 .
V 0 гг = ViT = ег 0 ViU = е1 0 —г =
о?г
= ё{® (Si -єі) = E-L (4.20)
V ® u = Vu = Ег (S)ViU = E1 ® — = E1 ® (Ei - еЛ = I - F~x.
о?,г
(4.21)
С помощью градиентов деформации построим следующие симметричные тензоры [59]:
а) Правый тензор Коши-Грина С
С = F ¦ Ft = е* 0 Ei ¦ Ej 0 ej = Gijei 0 ej. (4.22)
б) Левый тензор Коши-Грина В
В = Ft ¦ F = Ei 0 е5i • е-j 0 Ej = SijEi 0 Ej. (4.23)
в) Правый тензор Алъманси А
A = F-1 ¦ F~T = Ei^ei- ej 0 Ej = QijEi 0 Ej. (4.24)
Меры деформации
51
