Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
dj/ = а • ё3В3^ = OjBj-,. (3.22)
Наконец, используя второе разложение (3.12) вектора а в старом
и новом базисе, запишем
а = Oiёг = Oiiё1 = OiB1i,ёг , (3.23)
откуда
Zi' = Аг'гёг. (3.24)
Теперь выясняется смысл введения верхних и нижних индексов. Как видно из (3.19) и (3.24), величины с верхним индексом преобразуются с помощью матрицы A1i (контравариантный закон преобразования), а величины (3.16) и (3.22) с нижним индексом — с помощью обратной и транспонированной к A1i матрицы B1i, (ковариантный закон преобразования).
Назовём компонентами тензора (п + т)-го ранга, п раз ковариантными и т раз контравариантными, систему величин Oiii injlj2"'jrn, преобразующуюся при переходе к новой системе координат (3.13) по закону (тензорному закону) [48,50]
Инвариантность кинематических величин
39
3\32---Jm
(3.25)
Чтобы построить по компонентам (3.25) сам тензор (п + + га)-го ранга — инвариантный объект, не изменяющийся при преобразованиях (3.13), введём полиаду (п + га)-го порядка:
как конгломерат, составленный из векторов ковариантного (3.5) и контравариантного (3.9) базисов отсчётной конфигурации. Нетрудно видеть, что полиада (3.26) преобразуется при переходе (3.13) от одной системы координат к другой по тензорному закону:
е1I 0 е12 0 ... 0 е г'п (g) е7-/ 0 е7-/ (S ... (S ёо/ =
J і J 2 Jrn
Символ (S называется символом тензорного произведения. Итак, тензор (п + га)-го ранга а может быть записан в виде
Полиада второго порядка называется диадой. В зависимости от типа составляющих её векторов она представляется четырьмя различными способами, в результате чего тензор второго ранга имеет следующие записи:
называется единичным тензором второго ранга.
Очевидно, что вектор является тензором первого ранга, а скаляр — тензором нулевого ранга. He всякая величина, у которой отсутствуют индексы, есть скаляр. Рассмотрим, например, кова-риантную фундаментальную матрицу (3.6). Ясно, что
еч (S ё12 S)... (S) ё1п (S ejx (S еj2 S)... S) (?
'Jm ’
(3.26)
а = а,- ,• • <8> е *2 <8>... <8> ег” <8>
0?, <8> ej2 <8> ... 8> ejm. (3.28)
а = CiijP ® е-7 = а/ег <8> ej = а^-еї <8> е-7 = (21-7? <8> е,-. (3.29)
Тензор I,
I = S1^i 8> е-7 = єі <%) е1 = д^ё% ® е-7 = g^ei <8> ej, (3.30)
40
Лекция З
и определитель дг матрицы (3.6):
g' = (AetlBii,])2 д, ^ (3.32)
\Л і I
хотя и не имеет индексов, однако не преобразуется по тензорному закону, т. е. скаляром не является.
Нетрудно видеть, что определитель любой матрицы, в том числе A1i, может быть записан с помощью символов Леви-Чивиты следующим способом:
И1'I = А*кА1\А^ы™. (3.33)
Следовательно, символы Леви-Чивиты, вообще говоря, не яв-
ляются компонентами тензора третьего ранга. Однако величины y/geijk и єгік/у/~д при переходе от одной криволинейной системы координат к другой преобразуются по тензорному закону. Выберем три вектора da, db, dc:
da = dalei, db = dWcj, dc = dckek, (3.34)
имеющие длины I da I = \J gij da1 dal, \db \ = gij db1 dW, \dc\ = = g^ dc1 dci. Рассмотрим выражения для скалярного, векторного, тензорного и смешанного произведений этих векторов.
а) Скалярное произведение
da - db = g^ da1 dW. (3.35)
б) Векторное произведение. Используя компоненты тензоров Леви-Чивиты, получим
da Xdb= ^ZgeiJkdai dh> ек = — eijkda{ dbj ек. (3.36)
у9
Векторное произведение da х db совпадает с векторным элементом площади параллелограмма, построенного на векторах da и db. Поэтому
dTjQ = dYiо ^ = s/gt-ijk da1 dW ск,
(dE о) a = UadYi о = л/g Cijada1 db?,
где п = TtizCk — единичная нормаль к площадке в отсчётной конфигурации.
в) Тензорное произведение
da® db = da1 dV (? ® Cj. (3.38)
г) Смешанное произведение
(da х db) • dc = ^fgeijkda1 db? dck. (3.39)
(3.37)
Инвариантность кинематических величин
41
Смешанное произведение (da х do) • dc представляет собой ориентированный объём dXо элементарного косоугольного параллелепипеда, “натянутого” на векторы da, db и dc:
dV0 = ^fgeijk do} dh> dck. (3.40)
Нулевой индекс в (3.37), (3.40) соответствует отсчётной конфи-
гурации.
Рассмотрим теперь радиус-вектор актуальной конфигурации (3.2). Введём ковариантный локальный базис Ei:
QrP
Е, = w (3.41)
и определим ковариантную фундаментальную матрицу актуальной конфигурации:
Gij = Gji = Ei-Ej, G = |Gij| ф 0. (3.42)
Согласно (3.41) и (3.42)
1-^*1 — у Ea ¦ Ea — у/Gaa. (3.43)
Матрица Glj, обратная к Gij, удовлетворяет соотношениям
GikGkj = Sij, GjkGki = S/, \Gij\ = ^ (3.44)
и называется контравариантной фундаментальной матрицей актуальной конфигурации.
Контравариантный локальный базис E1 актуальной конфигурации получается с помощью поднятия индексов:
Ei = GijEj, (3.45)
причём
Ei-Ej = GlkGjlEk ¦ E1 = GikGjlGki = GikSjk = Gij, (3.46)
Ei ¦ Ej = GjkEi ¦ Ek = GjkGki = Si. (3.47)
Единичный тензор I может быть выражен и с помощью диады актуальной конфигурации:
I = Ei (S) Ei = GijE1 <?> E3 = GljEi <?> E3. (3.48)
Возьмём три вектора (3.34), составленные из материальных частиц. Им в актуальной конфигурации соответствуют векторы
