Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
|W| < 1. (5.1)
Согласно (4.20) и (4.17) в этом случае имеем
Vu = I - (I +Wu)~l =
= I- (I-W+ (W)2-...) «W, (5.2)
О
так как слагаемые порядка (Vu)n, п ^ 2, в (5.2) имеют в си-
O
лу (5.1) более высокий порядок малости, чем Vu. Таким образом, тензоры дисторсии недеформированного и деформированного состояний совпадают:
Ujtгег <g> ej « UjiiEi <?> EK (5.3)
Поэтому разница между лагранжевым и эйлеровым описанием (лагранжевыми и эйлеровыми координатами) в случае малых деформаций исчезает. Тензоры Лагранжа и Эйлера (4.11), (4.12) в этом случае совпадают:
1° ° гг,
7 = э = б = Eije1 ® е-1 = - {Vи + (Vu) ). (5.4)
Компоненты Eij тензора малых деформаций е выражаются че-
рез перемещения следующим образом:
?ij = \(uij + Щл) = (5-5)
Соотношения (5.5) называются соотношениями Коши.
Вычислим для рассматриваемого случая другие меры деформаций, введённые в прошлой лекции. Согласно определениям (4.22)-(4.25) имеем
С = F ¦ Ft = (I + Vu) ¦ (I + Vuf я»
« I + Vu + (Vuf = I + 2є, (5.6)
60
Лекция 5
В = Ft ¦ F = (I + Vuf ¦ (I + Vu) яз
я» I + (W)T + Vu = I +2є, (5.7)
A = F~l ¦ F~T = {I- Vu) ¦ (I - Vu)T я»
я» I - Vu - (Vuf = I- 2є, (5.8)
M = F~T -F~x = (1- Vuf ¦ (I - Vu) яа
и/- (Vuf -Vu = І-2є. (5.9)
О
Разложим тензор дисторсии Vu на симметричную и антисимметричную части: 0
Vu = є + Q, (5.10)
так что симметричный тензор деформаций є связан с и соотношениями (5.4), а антисимметричный тензор поворотов Q и его компоненты имеют вид
1 О О I
Q =-(Vu-(Vuf), ^lij =-(Ujti-Uitj) = Uy л]. (5.11)
С тензором поворотов естественным образом свяжем вектор поворотов й:
й = -j= EijkQijEk =
и аналогично (4.60), (4.61) найдём
Q = 2VGenimSlnE1 ® Em. (5.13)
Выражения для левого и правого тензоров растяжения и тензора вращения примут вид
V = Cl/2 = VT+2i^I + ?, (5.14)
Q = V-1 - F= (І-є) - (/ + є + Q) и L + 0, (5.15)
и = Q~l - F = (I-Q) ¦ U + e + Q) ~і + ?. (5.16)
Выясним геометрический смысл компонент Eij тензора малых деформаций. Рассмотрим для простоты в недеформирован-ном состоянии ортонормированный базис /?, так что = Sij
и д = 1. Выберем в этом состоянии материальное волокно dr ^ в направлении оси с номером а (координатное волокно):
dr0(a) = dxaka, dxa > 0. (5.17)
Если локальным базисом деформированного состояния является
базис Ei, то это же координатное волокно описывается теперь
Vg
StjkViUjEk = rot и,
(5.12)
Малые деформации
61
вектором
dr
df(Q) = dxnEn.
(5.18)
Заметим, что согласно (4.1) в данном случае Gaa = 1 + 2ес и Gaf3 — 2єар.
Найдём отношение Ia длин (3.57):
Ia —
I dxaEa • dxaEa у dxaka • dxaka Таким образом,
& СУСУ
— \/Gaa — I + cIeaa ~ 1 + еаа. (5.19)
\dr^\ — Irfr0^l
I =
I^0
Hi
(5.20)
т. е. каждая диагональная компонента Eolol представляет собой относительное удлинение координатного волокна, направленного по оси а. В этом состоит геометрический смысл диагональных компонент тензора малых деформаций.
Вычислим теперь угол ipap между координатными волокнами df и df(P\ Из (3.60) имеем
cos^= \df^\\df щ
dxaEa • dx^Ep
Gi
ар
dxaEa • dxaEa\!dxpEp • dxpEp
2є,
a(3
л/ї~+~2є
aa л/1 +
CKCK
2єа/3. (5.21)
до
Ho
COS(/?a/3 = sin(7r/2 - </?а/3) « тг/2 - v?Q/3 = ^ - Ifiaj3,
ибо
угол между координатными волокнами ar0v ' и ar0v '
прямой. Итак, недиагональная компонента еа(з равна половине угла скашивания 7г/2 — ipap или половине разности углов между соответствующими координатными волокнами (рис. 21).
В этом заключается геометрический смысл компонент тензора деформаций со смешанными индексами.
Наконец, найдём отношение элементарных объёмов dV и dVo в данной
62
Лекция 5
точке. Согласно формуле (3.59) для изменения объёмов
——- = а — = y/G = у/1 + 2єц « 1 + єц = 1+0, (5.22)
dvo у д
где
в = єц = tre = div г?. (5.23)
Величина О называется дилатацией или объёмным расширением-сжатием и является первым (линейным) инвариантом тензора малых деформаций е. Из (5.22) видно, что
в = (5.24)
a Vq
т. е. О есть относительное изменение объёма в данной точке 0 . В этом состоит геометрический смысл следа тензора деформаций.
В случае малых деформаций, если не будет специальных оговорок, будем иметь дело с прямоугольной декартовой системой координат (с базисом ki), поэтому все индексы можно писать внизу, например: Qk —
Тензор в Л/ 3 с компонентами Odij/3 будем называть шаровой частью тензора деформаций, а разность є —01/3 обозначать е. Таким образом,
Sij = eij + ^OSiJ, или є = е + ^O I. (5.25)
След тензора е равен нулю:
tre = tr?—ltftr I = 0 — 1-30 = 0. (5.26)
О О
Такой тензор называется девиатором. Из (5.26) следует, что девиатор и шаровая часть — взаимно ортогональные тензоры (их полная свёртка равна нулю).
Помимо линейного инварианта — дилатации 0 — определим согласно (4.49) квадратичный іг є2 и кубический \є^\ инварианты. Однако чаще всего в качестве квадратичного инварианта выбирается интенсивность деформаций єИ > 0:
