Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
2I = (Qt-L) + (Q-L) + (Qt-L) • (Q-D =
= Qt + Q-4 +L-Qr -Q+ L = Q- (4.46)
Итак, деформация при жёстком движении отсутствует.
Если градиент деформации F таков, что в его разложении (4.30) ортогональный тензор Q является единичным: Q = I, то
F = U = V, (4.47)
т. е. тензор F симметричен. Обратно, если тензор F симметричен, то Q = L В этом случае в приложениях вводится так называемый тензор Генки H:
H= In V= \nU. (4.48)
Обратимся теперь к инвариантам симметричных тензоров второго ранга. По теореме Гамильтона-Кели у таких тензоров А = A1^ei (g) ej = Aije1 (g) ej существует три независимых инварианта, например, линейный tr А — след А, квадратичный tr A2 —
Меры деформации
55
след А • А и кубический det ^4:
ti-4 = ^Aij = QijAi* = Al, det4 = I Aij\g = 49
tr A2 = tr (AjiAje1 (g> ek) = AjAj.
Из (4.49) имеем инварианты правого тензора Коши—Грина
С = Gije1 ® е-7 :
tr C = Gijgij, tr C2 = GikGjl9ijgkl, det С = ^ ¦ (4.50)
Кроме того, из (4.22) следует, что
det F = det V = det U = (4.51)
Обозначим собственные значения С, как и в (4.32), через А2, и А2, тогда
tr С = Ai + A2 + А§, tr C2 = Ai + А| + A3, det С = AiA2A2.
(4.52)
Очевидно, что любая функция инвариантов (4.52) также будет инвариантом тензора С, например:
1
\l+f~r +1* / t^I __ I I
(4.53)
1
2
Применим к вектору скорости V = VtSi = V1Ei оператор наб-ла V:
L= Vv = Ei(S) ViV = Ei(S) = Ei(S) (^^) =
= #e(sf) = #ef (4-54>
Найдём разложение тензора L, называемого градиентом скорости, по диадному базису E1 ® E3:
L = V1V3E1 <?> E3 = VjliEi <?> EK (4.55)
Заметим далее, что
F • L = ег <?> Ei • E3 <?> Ej = ег 0 Ё\ = (ег <?> Ei)' = F' (4.56)
в силу равенства нулю векторов (ег)' в отсчётной конфигура-
ции. Соотношение (4.56) говорит о том, что дифференцирование
[(tr О)2 - tr G2] = AfAl + AlAl + AlA?,
[-(tr Cf + 3 tr С tr C2 + 6 det С] = Af + A® + А® = tr С3.
56
Лекция 4
по времени градиента деформации равносильно умножению его справа на градиент скорости.
Как и любой тензор второго ранга, тензор L может быть представлен в виде суммы симметричной и антисимметричной частей:
L = D + R, D = ^(L +LT), R=l-{L-LT), (4.57)
где
Lt = Ei ® Ei = ViljEi ® Ej (4.58)
— транспонирование тензора L, а
D = DijEi <?> E3, R = R13E1 ® E3 (4.59)
называются соответственно тензором скоростей деформаций и спин-тензором. О компонентах vjj, Vij и 0? тензоров L, D и R в прямоугольной декартовой системе координат с базисом ki уже шла речь в лекции 2.
Антисимметричному тензору R естественным образом ставится в соответствие вектор вихря й
^ = elJkRi^k = еФУіУ^к = rot (4-60)
введённый в (2.29). Умножая скалярно все части равенства (4.60) на En, а затем на \[G enimEl ® Em, выразим R через из:
R = VGenlmUjnE1 % Em, Rij = VGeijkLok. (4.61)
Проверим, является ли тензор скоростей деформаций D полной производной по времени от тензора Лагранжа 7 или тензора Эйлера э. Производная по времени от компонент тензора деформации даёт компоненты тензора скоростей деформации. Действительно, продифференцируем по времени обе части (4.1) и получим
eIj = 2? = 2 + ^ =
=Kf
+ E1 • VkljEk) = '-(Vjli + Vilj) = Dlj, (4.62)
Меры деформации
57
или
D = EljE1 ® EK (4.63)
Однако тензор D не является полной производной по времени ни от тензора Лагранжа, ни от тензора Эйлера. В самом деле, из определений (4.11), (4.12) имеем
7' = EiAe1 ® ej,
(4.64)
Э = E13E1 ®Ё3 + Егз(Ёг <?> &)' = D + Егз(Ёг <?>&)'.
Рассмотрим теперь, как изменится скорость Vq некоторой частицы в бесконечно близком от неё окружении. Выберем некоторую точку в таком окружении и разложим вектор скорости v в ней в ряд:
“ = «0 + |?< + 1з|^7« + -- (4-65)
Благодаря (4.54) разложение (4.65) можно представить в виде V = щ + dr • V V + ^df • 8 V ® ilj • dr + ... =
= щ + df-L+^df- ® LsJ • df + ... (4.66)
В силу предполагаемой малости длины вектора df=df^Ei сохраним в правой части (4.66) только два первых слагаемых и воспользуемся соотношением (4.57):
V = щ + df • L = щ + df • D + df • R. (4-67)
Введём квадратичную форму Ф относительно компонент вектора df
Ф = ^df-D-df = ^DijdCd?j. (4.68)
Очевидно, что
аш (4-69)
Соотношение (4.69) можно записать в виде
grad Ф = D • df (4.70)
Тогда из (4.67) имеем
V = щ + grad Ф + df • R. (4-71)
58
Лекция 4
Используя (4.61), получим
dr • R = у/G (d^lEi) • (eijk UJkE1 ® E3) =
= \[G ^ijkOJk d^1 E3 =ujxdr. (4.72) Подставляя (4.72) в (4.71), находим, что
v = щ + Cj X dr + grad Ф. (4.73)
Формула (4.73) носит название теоремы Коши-Гельмгольца. Она представляет собой обобщение формулы Эйлера для выражения скорости абсолютно твёрдого тела на сплошную среду, в которой происходит деформирование. Заметим, что формула (4.73) отличается от формулы Эйлера не только наличием градиента функции Ф (4.68), но и тем, что она справедлива только в бесконечно малой окрестности точки, имеющей скорость -?-
ЛЕКЦИЯ 5 МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Деформации называются малыми, если перемещения малы: |г?| <С /, где I — диаметр рассматриваемого тела, и все компоненты тензора дисторсии по модулю много меньше единицы:
