Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
г) Левый тензор Алъманси M M = F~T ¦ F~l = Єі <g> Ei ¦ Ё> ® ej = Gijёг <8> ej. (4.25)
Ясно, что тензоры F, С, В, A, M могут служить мерами
деформации. Из определений (5.18)-(5.21) легко заключить, что С и M взаимообратны, так же как и В и А:
C-M = M-C = I B-A = A-B = L (4.26)
Умножив обе части равенства (4.1) на ег ® еJ' либо на E1 (g) , с учётом (4.22), (4.24) получим выражения тензоров
деформации (4.11), (4.12) в виде
J=IiC-L), э=1-а-А). (4.27)
Пользуясь введёнными обозначениями, тензоры деформации Лагранжа и Эйлера (4.27) можно выразить через тензоры дис-торсии следующим образом:
7=1 + (’Vu)T + Vu • (W)t^ , (4.28)
э = ^(vu + (Vu)T-Vu-(Vu)t^. (4.29)
Докажем далее важную в теории деформаций теорему о полярном разложении тензора второго ранга. Ниже в её доказательстве под FnC подразумеваются тензоры, не обязательно совпадающие с (4.15) и (4.22).
Теорема о полярном разложении. Произвольный тензор второго ранга F можно однозначно представить в виде О
F = Q-U = V-Q, (4.30)
где Q — ортогональный тензор, т. е. Qt = Q~l, a U и V — симметричные положительно определённые тензоры второго ранга, имеющие одинаковые собственные значения.
Для доказательства образуем симметричный тензор С =
= F-Ft (Ct = (? • FTf = (FT f -Ft = C). С помощью преоб-разования F для каждого ненулевого вектора а построим вектор Ь: Ь = а - F = Ft - а. Тогда а - С - а = а - F - Ft - а = Ъ -Ъ = \Ъ\2 > > 0, т. е. тензор С положительно определён.
О Здесь F не обязательно градиент деформации (4.15).
52
Лекция 4
Из его симметрии и положительной определённости следует, что в некоторой системе координат его компоненты образуют диагональную матрицу. Обозначим собственные значения этой матрицы через А2, , А2. Тогда в этой же системе координат
некоторый тензор V имеет компонентами диагональную матрицу с элементами Ai > О, А2 > 0 и A3 > 0, так что
G = Y-Y- (4.31)
Af 0 0 \ /Al 0 0 \
о Д2 о , И = О A2 0 . (4.32)
OOAIJ \ О О X3J
Докажем, что тензор V — искомый тензор представления (4.30). Действительно из (4.32) следует, что он симметричен и положительно определён. Осталось показать, что тензор
Q = V~l - F (4.33)
является ортогональным, т. е. его компоненты в каждой системе координат суть ортогональные матрицы. В самом деле,
Q-Qt = (V-1 ¦ F) ¦ (Fr ¦ V~T) = V~l ¦ С ¦ V~T =
= ^-1 - V-V- V~T = I-I = I
так как V~T = (V~l)T = V~x.
Построим симметричный положительно определённый тензор U\
U = Qt-V-Q, (4.34)
с помощью симметричного, положительно определённого тензора V. Очевидно, что из определения (4.34) следует (4.30). Таким образом, представление (4.30) доказано.
Для доказательства единственности этого разложения заметим, что из вида [С] (4.32) следует много других тензоров V, например,
/—Al 0 0
[Yl= [ 0 -A2 о
V 0 0 -A3y
Ho все такие тензоры, в отличие от [V] (4.32), не будут положительно определёнными.
Покажем, что тензоры V и U имеют одинаковые собственные значения. Пусть А — одно из собственных значений V и ему
Меры деформации
53
соответствует собственный вектор к, т. е. V • к = Afc, a I = к • Q, или к = I • Qt = Q-L Тогда
U-I = (Qt-V-Q)¦ I = Qt -(Y-(Q- 0) = ' (AQ • Г) = ЛГ
Если в качестве F выбрать градиент деформации (4.15), то тензором С будет правый тензор Коши-Грина (4.22), a Q, V и [7 будут называться тензором вращения, левым и правым тензорами растяжения соответственно. Кроме того,
Ь = а • F = ajej • ег ® E1 = a? SijEi = (4.35)
т. е. у векторов а и Ь, использовавшихся в доказательстве теоремы, одинаковые компоненты в базисах (? и Д.
Так как Q = V^-1 • F, то согласно (4.34)
U = Ft- V~t • V • У-1 • F = Ft • У”1 • F =
= E1 <?> е% • (^-1)? 0 ei • ej <?> Ej =
= (у~х)к1 SIS31E1 <?> E3 = (V-1Y3E1 <?> E3. (4.36)
Таким образом, базисом левого тензора растяжения V является диада отсчётной конфигурации, а правого тензора растяжения U — диада актуальной конфигурации:
V = Vijei U = UljEl <?> E3. (4.37)
В самом деле, по определению (4.31)
V2 = F-FT = ei®Ei-Ej® & = GijCi 0 ej, (4.38)
U2 = Ft -F = Ei^ei-P ® Ej = QijEi 0 Ej. (4.39)
Кроме того, из (4.33) легко видеть, что
Q = (и~%ё1 0 Ej = (V~l)ijёг 0 Ej, (4.40)
где (V~l)zj и (U-^)ij — компоненты тензоров V~l и U~l, обратных тензорам Vh U соответственно:
у-1 = (V-lYjCi ®ejt U~{ = (U~l)ijEi ® Ej. (4.41)
54
Лекция 4
Пусть задан закон движения сплошной среды:
т = Q • Г0 + с (і), (4.42)
где Q — ортогональный тензор. Движение (4.42) называется жёстким. Найдём для него тензоры деформации Лагранжа, Эйлера и все определённые ранее меры деформации. Дифференцируя (4.42) по получим
Ei = Q- ёг, F = ? ® (Q ¦ Si) = Si^ei -Qt = I-Qt = Qt.
(4.43)
Из соотношений (4.22)-(4.27), (4.43) и ортогональности Q следуют выражения для всех мер деформаций
Q = Qt • (QTf = I, А = (Qt)-1 • Q-1 = I,
M = C~l=L B = ATx=I, (4.44)
Vu = Qt-I, Vu = I-Q, V = U = I и тензоров деформации Лагранжа и Эйлера
J=^(C-I) = O, э = \(1-А) = 0. (4.45)
Результат (4.45) следует и из (4.28), (4.29). Например:
